Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS

Năm học 2016 -2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

( Đề gồm có 01 trang)

Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x                 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm x để 1 2 P  

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1

Bài 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình:

2 2 2

2 x 3 x 3 7(x 9) 6 x 2 x 2 x 4                     b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3 3 3 3 A x y z xyz     Bài 3: (4.0 điểm)

a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng :   5 5 5 a b c a b c      chia hết cho 30. b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 3 3 5 15 x y xy x y     

Bài 4: (6.0 điểm)

Cho tam giác ABC phân giác AD. Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx

sao cho ·BCX = 1

2

·BAC. Cx cắt AD tại E ; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng :

a) ΔABD đồng dạng với ΔCED b) AE2 > AB.AC c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d) Trung trực của BC đi qua E

Bài 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn : 1 1 1 2 1 1 1 a b c       . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức Q = abc

- Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ……………

Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Đáp án này gồm có 04 trang

Câ u

Nội dung Điể m

Bài 1 (4đ )

Câu a) ĐKXĐ x  0; x 1

       

2

2

2

1 1 : ( 1) 1

1 ( 1) 1 1

1

x x x P x x x

x x x x

x x

x x

    

     

 

Câu b) 1 2 P   

2 1 1 2 x P x

    với x ĐKXĐ

- HS tìm được x = 1/2

Vậy 1 2 P   1 2 x   (TMĐK)

Câu c)

   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x P x x x x x             

1 1 1 1 2 1 1 P x x x x       

Vì x > 1 nên 1 0 x  và 1

1 x  > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1

và 1

1 x  ta có:   1 1 1 2 1 2 1 1 x x x x       

Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1

1 x 

( x – 1)2 = 1  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 ) x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2

0,25

0,5

0,75

0,25

0,5 0,25

0,5

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

Bài 2 (4đ )

Câu a)

2 2 2

2 x 3 x 3 7(x 9) 6 x 2 x 2 x 4                    

.

Điều kiện: x 2  .

Đặt x 3 x 3 u, v x 2 x 2       , phương trình đã cho trở thành

2 2 u 6v 7uv   2 2 u uv 6v 6uv 0 u(u v) 6v(u v) 0           (u v)(u 6v) 0      u = v hoặc u = 6v.

- Xét u = v ta có: x 3 x 3 x 2 x 2      2 2 x 3x 2x 6 x 3x 2x 6          10x = 0 x 0   (TMĐK).

- Xét u = 6v ta có: x 3 x 3 6. x 2 x 2      2 2 x 3x 2x 6 6x 18x 12x 36           





  

2

2 5x 35x 3

x 7x

0

6

0

0              

2 x x 6x 6 0 x(x 1) 6(x 1) 0 (x 1)(x 6) 0

 x = 1 (TMĐK) hoặc x = 6 (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là    S 0;1;6

Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích được 3 3 3 3 A x y z xyz     = (x+y)3- 3xy(x+y) +z3-3xyz = (x+y+z)3 - 3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z) = (x+y+z)[(x+y+z)2-3(x+y)z-3xy] = (x+y+z)(x2+y2+z2 -xy -yz -zx)

0,25

0,75

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 3 (4đ )

Câu a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng :

  5 5 5 a b c a b c      chia hết cho 30. - Học sinh biến đổi được a5 - a = (a -2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) - Học sinh lập luận được a5 - a chia hết cho 30 - Tương tự: b5 - b và c5 -c chia hết cho 30. Kết luận.

0,75 0,75

0,5

ThuVienDeThi.com