Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỌP 8

Năm học: 2012 – 2013

Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3 điểm).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Bài 2. (6 điểm). Cho biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                      a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính giá trị của A, biết x = 1

2 .

c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Bài 3. (5 điểm)

a. Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b. Cho 1 x y z a b c    và 0 a b c x y z   . Chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   .

Bài 4. (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5 4 3 2 2 3 4     a a a a .

Bài 5. (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.

a. Chứng minh rằng OM = ON.

b. Chứng minh rằng MN CD AB

2 1 1   .

c. Biết SAOB= 20122 (đơn vị diện tích); SCOD= 20132 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

-----------------------------

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng Máy tính cầm tay.

ThuVienDeThi.com

phòng giáo dục - đào tạo

huyÖn HẠ HÒA

hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện

Năm học 2012 - 2013

Môn: toán - lớp 8

Bài 1: (3 điểm)

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 0,5 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 a. (1,5 điểm)

= (x - 2)(3x - 1). 0,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 0,5 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 b. (1,5 điểm)

= (x - a)(ax - 1). 0,5

Biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                     

a. Rút gọn được kq: 1 A x 2    1,5

b. 1 x 2  1 x 2   hoặc 1 x 2  

4 A 3   hoặc 4 A 5  1,5 c. A 0 x 2    1,5

Bài 2 6 điểm

d.   1 A Z Z ... x 1;3 x 2        1,5

Bài 3 (5 điểm)

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : 2 2 2 ( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0 x y z       0,5 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1

a. (2,5)

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,5

Từ : ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz     

ayz + bxz + cxy = 0

1 b. (2,5)

Ta có : 2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c       0,5

ThuVienDeThi.com

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc        0,5

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc       

2 2 2

2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c    

0,5

Bài 4

Biến đổi để có A= 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2       a a a a a

0,25đ

= 3 )1 )( 2 ( 3 )1 2 )( 2 ( 2 2 2 2         a a a a a 0,25đ Vì 0 2 2   a a  và a a    0 )1 ( 2 nên a a a     0 )1 )( 2 ( 2 2 do đó a a a      3 3 )1 )( 2 ( 2 2

0,25đ

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0 1   a 1  a KL

0,25đ

Bài 5 (5 điểm

a, (1,5 điểm) Lập luận để có BD OD AB OM  , AC OC AB ON  0,5đ

Lập luận để có AC OC DB OD  0,5đ

 AB ON AB OM   OM = ON 0,5đ

b, (1,5 điểm)

Xét ABD  để có AD DM AB OM  (1), xét ADC  để có AD AM DC OM  (2)

Từ (1) và (2)  OM.( CD AB

1 1  ) 1     AD AD AD

DM AM

0,5đ

Chứng minh tương tự ON. 1 ) 1 1 (  CD AB 0,5đ

từ đó có (OM + ON). 2 ) 1 1 (  CD AB  MN CD AB

2 1 1   0,5đ

c, (2 điểm) OD

OB S S

AOD

AOB  , OD

OB S S

DOC

BOC   

AOD

AOB S S

DOC

BOC S S  AOD BOC DOC AOB S S S S . .  0,5đ

O N M

D C

B A

ThuVienDeThi.com