Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Khối 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS

Năm học 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

( Đề gồm có 01 trang)

Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x                 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm x để 1 2 P  

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1 Bài 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình:

2 2 2

2 x 3 x 3 7(x 9) 6 x 2 x 2 x 4                     b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3 3 3 3 A x y z xyz     Bài 3: (4.0 điểm)

a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng :   5 5 5 a b c a b c      chia hết cho 30. b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 3 3 5 15 x y xy x y      Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC phân giác AD. Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx

sao cho ·BCX = 1

2

·BAC. Cx cắt AD tại E ; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng :

a) ΔABD đồng dạng với ΔCED b) AE2 > AB.AC c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d) Trung trực của BC đi qua E

Bài 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn : 1 1 1 2 1 1 1 a b c       . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức Q = abc

- Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ……………

Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Đáp án này gồm có 04 trang

Câu Nội dung Điểm Bài 1 (4đ)

Câu a) ĐKXĐ x  0; x 1

       

2

2

2

1 1 : ( 1) 1

1 ( 1) 1 1

1

x x x P x x x

x x x x

x x

x x

    

     

 

Câu b) 1 2 P   

2 1 1 2 x P x

    với x ĐKXĐ

- HS tìm được x = 1/2

Vậy 1 2 P   1 2 x   (TMĐK)

Câu c)

   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x P x x x x x              1 1 1 1 2 1 1 P x x x x       

Vì x > 1 nên 1 0 x  và 1

1 x  > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số

dương x – 1 và 1

1 x  ta có:   1 1 1 2 1 2 1 1 x x x x       

Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1

1 x 

( x – 1)2 = 1  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 ) x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2

0,25

0,5

0,75

0,25

0,5 0,25

0,5

0,25

0,25

Bài 2 (4đ)

Câu a)

2 2 2

2 x 3 x 3 7(x 9) 6 x 2 x 2 x 4                     .

Điều kiện: x 2 . 0,25

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Đặt x 3 x 3 u, v x 2 x 2       , phương trình đã cho trở thành

2 2 u 6v 7uv   2 2 u uv 6v 6uv 0 u(u v) 6v(u v) 0           (u v)(u 6v) 0    

 u = v hoặc u = 6v.

- Xét u = v ta có: x 3 x 3 x 2 x 2      2 2 x 3x 2x 6 x 3x 2x 6          10x = 0 x 0   (TMĐK).

- Xét u = 6v ta có: x 3 x 3 6. x 2 x 2      2 2 x 3x 2x 6 6x 18x 12x 36           





  

2

2 5x 35x 3

x 7x

0

6

0

0              

2 x x 6x 6 0 x(x 1) 6(x 1) 0 (x 1)(x 6) 0

 x = 1 (TMĐK) hoặc x = 6 (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là    S 0;1;6 Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích được 3 3 3 3 A x y z xyz     = (x+y)3- 3xy(x+y) +z3-3xyz = (x+y+z)3 - 3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z) = (x+y+z)[(x+y+z)2-3(x+y)z-3xy] = (x+y+z)(x2+y2+z2 -xy -yz -zx)

0,75

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 3 (4đ)

Câu a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng :

  5 5 5 a b c a b c      chia hết cho 30. - Học sinh biến đổi được a5 - a = (a -2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) - Học sinh lập luận được a5 - a chia hết cho 30 - Tương tự: b5 - b và c5 -c chia hết cho 30. Kết luận. Câu b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 2 3 3 5 15 x y xy x y     

0,75 0,75

0,5

ThuVienDeThi.com