Chuyên đề mở đầu về phương trình

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Ví dụ 1: Ta gọi các hệ thức:

 2 3 2 x x    là một phương trình với ẩn số x.

 3 2 y y   là một phương trình với ẩn số y.

…

từ đó ta có được định nghĩa về phương trình một ẩn:

Một biểu thức x có dạng:

  A x B x 

trong đó vế trái  A x và vế phải  B x là hai biểu thức của cùng một biến x, gọi là phương trình một

ẩn.

 Chú ý:

 Hệ thức x m  (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là

nghiệm duy nhất của nó.

 Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào

hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về:

a) Phương trình với ẩn y.

b) Phương trình với ẩn u.

 Giải

Ta lần lượt có:

 Phương trình với ẩn y là 3 4 0 y   .

 Phương trình với ẩn u là 1 4 1 u u   

Ví dụ 3: Khi 6 x  , tính giá trị mỗi vế của phương trình:   2 5 3 1 2 x x    

 Giải

Với 6 x  thì:

2 5 2.6 5 17; VT x          3 1 2 3 6 1 2 17 VP x        .

 Nhận xét: Ta thấy hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị khi 6 x  . Ta nói 6 x  là một

nghiệm của phương trình.

Ví dụ 4: Cho phương trình   2 1 7 3 x x     .

a. 2 x  có thỏa mãn phương trình không?

b. 2 x  có là một nghiệm của phương trình không?

 Giải

a. Thay 2 x  vào phương trình, ta được:

    2 2 1 7 3 2 2 7 3 2 9 5,         sai.

Vậy 2 x  không thỏa mãn phương trình.

b. Thay 2 x  vào phương trình, ta được:

  2 2 1 7 3 2 6 7 3 2 1 1,          sai.

Vậy 2 x  không là nghiệm của phương trình.

2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường

được kí hiệu bởi S.

Ví dụ 5: Hãy điền vào chỗ trống (...):

a. Phương trình 2 x  có tập nghiệm là S = ....

b. Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = ....

 Giải

Ta lần lượt có:

 Phương trình 2 x  có tập nghiệm là  2 S  .

 Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S .

Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của

phương trình đó.

3. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa: Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 6: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

2 0, x   (1)

1 3. x  (2)

 Giải

Giải phương trình (1), ta được:

 1 2 S 2 x    .

Giải phương trình (2), ta được:

 2 2 S 2 x    .

Vậy, ta thấy 1 2 S S  , do đó hai phương trình đã cho tương đương với nhau.

 Nhận xét:

1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi

giải từng phương trình rồi thực hiện phép so sánh hai tập nghiệm, và ở đây vì 1 2 S S  nên chúng

ta kết luận “Hai phương trình tương đương”.

2. Nếu 1 2 S S   thì hai phương trình cũng tương đương, do đó “Hai phương trình vô nghiệm

cũng tương đương với nhau”.

Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

1 2, x  (1)

2 8 15 0. x x    (2)

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Giải phương trình (1), ta được:

 1 1 S 1 x    .

Giải phương trình (1), ta được:

  2 2 8 15 0 8 16 1 0 x x x x       

     2 4 1 0 4 1 4 1 0 x x x         

   5 3 0 5 x x x       hoặc   2 3 S 5,3 x   

Vậy, ta thấy 1 2 S S  do đó hai phương trình không tương đương.

Cách 2: Giải phương trình (1), ta được:

 1 1 S 1 x   

Thay 1 x  vào phương trình (2), ta được:

21 8.1 15 0 8 0      , mâu thuẫn

tức là, 1 x  không phải là nghiệm của (2).

Vậy, hai phương trình không tương đương.

 Nhận xét:

1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi

giải phương trình (1) rồi nhận xét rằng 1 x  không phải là nghiệm của phương trình (2), từ đó

kết luận “Hai phương trình tương đương”. Sở dĩ chúng ta lựa chọn hướng làm như vậy …