Chuyên đề liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG

A. BÀI GIẢNG

1. NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ

Trên tập số thực, với hai số a và b sẽ xảy ra một trong các trường hợp sau:

 Số a bằng số b, kí hiệu là a b = .

 Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a b < .

 Số a lớn hơn số b, kí hiệu là a b > .

Từ đó, ta có thêm nhận xét:

 Nếu a không nhỏ hơn b thì a b = hoặc a b > , khi đó ta nói a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là

a b ≥ .

 Nếu a không lớn hơn b thì a b = hoặc a b < , khi đó ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là

a b ≤ .

Ví dụ 1. Điền dấu thích hợp (=, <, >) vào ô vuông:

. 1,53 1,8 a  . -2,37 -2,41 b 

12 2 c. 18 3 − −  3 13 d. 5 20 

Giải

Ta có ngay:

. 1,53 < 1,8 a . -2,37 > -2,41 b 12 2 c. = 18 3 − − 3 13 d. < 5 20

2. BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng:

, , , . A B A B A B A B > ≥ < ≤

3. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG

Ví dụ 2. a. Khi cộng -3 vào cả hai vế của bất đẳng thức 4 2 −< thì được bất đẳng thức nào?

b. Dự đoán kết quả khi cộng số c vào cả hai vế của bất đẳng thức 4 2 −< thì được bất đẳng thức

nào?

Giải

Ta có ngay:

3 4 3 2 7 1 −− < −+ ⇔−< − (đúng) và dự đoán được rằng 4 2 c c − < +

Tính chất: Với ba số a, b và c, ta có:

 Nếu a b > thì a c b c + > +

 Nếu a b < thì a c b c + < +

 Nếu a b ≥ thì a c b c + ≥ +

 Nếu a b ≤ thì a c b c + ≤ +

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều

với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ 3. So sánh 2004 ( 777) − + − và 2005 ( 777) − + − mà không tính giá trị từng biểu thức.

Giải

Ta có 2004 2005 − > − nên khi cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với -777, ta được

2004 ( 777) 2005 ( 777) − + − > − + −

Ví dụ 4. Dựa vào thứ tự giữa 2 và 3 hãy so sánh 2 2 + và 5.

Giải

Ta có 2 3 < nên khi cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với 2, ta được 2 2 5 + <

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

. ( 2) 3 2 a − + ≥ . 6 2.( 3) b − = −

. 4 ( 8) 15 ( 8) c + − < + − 2 . 1 1 d x + ≥

Giải

a. Khẳng định ( 2) 3 2 − + ≥ là sai.

b. Khẳng định 6 2.( 3) −= − là đúng.

c. Khẳng định 4 ( 8) 15 ( 8) + − < + − là đúng.

d. Khẳng định 2 1 1 x + ≥ là đúng vì:

2 2 0, 1 1, x x x x ≥ ∀⇔ + ≥ ∀

Ví dụ 2. Cho a b < , hãy so sánh:

a. 1 a + và 1 b + b. 2 a − và 2 b −

Giải

a. Ta có:

1 1 a b a b < ⇔ + < +

b. Ta có:

2 2 a b a b < ⇔ − < −

Ví dụ 3. Hãy so sánh a và b nếu:

a. 5 5 a b − ≥ − b. 15 15 a b + ≤ +

Giải

a.Ta có:

5 5 5 5 5 5 a b a b a b − ≥ − ⇔ −+ ≥ −+ ⇔ ≥

b. Ta có:

15 15 15 15 15 15 a b a b a b + ≤ + ⇔ + − ≤ + − ⇔ ≤

PHIẾU BÀI LUYỆN Bài 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) 5 ( 8) 3   b) ( 3) ( 7) ( 5) ( 4)    

c) 2 ( 7) 9 ( 10) ( 4)     c) 2 1 1 x x    

Bài 2: Cho a b  hãy so sánh

a) 3 a  và 3 b  b) 2 a  và 2 b 

c) a và 1 b  d) 2 a  và 1 b 

Bài 3: So sánh ; a b nếu:

a) 4 4 a b    b) 5 5 a b   

c) 9 9 a b    c) 17 17 a b   

Bài 4: Sắp xếp các số sau từ lớn đến bé và biểu diễn trên trục số:

a) 7; 8; 1; 5;0,3,8; − − −− b) 3 1 ; ;0; 2; 5;1 5 2 − − .

Bài 5: Cho 8 9 x   . Chứng minh 3 20. x  

Bài 6: Cho 5 15. x   Chứng minh 2 8. x  

Bài 7: So sánh x và 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) 8 8; x − ≤− b) 2 2 x x x   

Bài 8: Cho a b  . Chứng minh 2 4 6 .... 18 20 108. a b        

Tự luyện:

Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) 3.(2) 6 − > b) 1 1 5 5 5 5 − < − +

c) 4 3 7; − + ≤ d) 2 1 0 x − −≤

Bài 2: So sánh x và y trong mỗi trường hợp sau:

a) 5 5; 3 3 x y − ≤ − b) 5 5 x y −− > −−

Bài 3: Cho a b  hãy so sánh

a) 26 a  và 26 b  b) 4 a  và 4 b 

c) a và 4 b  d) 6 a  và 3 b 

TRẮC NGHIỆM

Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng ( trừ câu 2)

Câu 1: Số a không lớn hơn số b. Khi đó ta kí hiệu

A. a b  B. a b  C. a b  D.a b 

Câu 2: Khi cộng cùng một số vào cả 2 vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới

………………với bất đẳng thức đã cho.