Chuyên đề bất phương trình một ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

A. BÀI GIẢNG

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Ví dụ 1. Ta gọi hệ thức:

 2 3 2 x x    là một bất phương trình với ẩn số x.

 3 2 y y   là một bất phương trình với ẩn số y.

…

Từ đó ta có được định nghĩa về bất phương trình một ẩn:

Một bất phương trình với ẩn x có dạng:

( ) ( ) A x B x  hoặc ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) A x B x A x B x A x B x   

Trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

2. TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình

đó.

Khi bài toán yêu cầu giải một bất phương trình, ta phải tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 2: Ta có:

a. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  là tập hợp các số lớn hơn 2, tức là tập   2 x x  , nó được

biểu diễn trên trục số như sau:

b. Tập nghiệm của bất phương trình 3 x  là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 3, tức là tập   3 x x  ,

nó được biểu diễn trên trục số như sau:

c. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  là tập hợp các số nhỏ hơn - 2, tức là tập   2 x x  , nó được

biểu diễn trên trục số như sau:

d. Tập nghiệm của bất phương trình 1 x  là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là tập   1 x x  ,

nó được biểu diễn trên trục số như sau:

Ví dụ 3. Cho bất phương trình: 2 4 3 x x x  

Kiểm tra xem các giá trị 2; 1; 3 x x x    có phải là nghiệm của bất phương trình trên hay không?

Giải

a.Thay 2 x  vào bất phương trình, ta được:

2 ( 2) 4( 2) 3( 2) 4 8 6 12 6         , mâu thuẫn.

Vậy 2 x  không phải là nghiệm của bất phương trình.

b. Thay 1 x  vào bất phương trình, ta được:

21 4.1 3.1 1 4 3 3 3      , luôn đúng.

Vậy 1 x  là nghiệm của bất phương trình.

c. Thay 3 x  vào bất phương trình, ta được:

23 4.3 3.3 9 12 9 3 9       , luôn đúng.

Vậy 3 x  là nghiệm của bất phương trình.

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Hai bất phương trình có cùng một tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1: TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ nêu một bất phương

trình).

a. b.

c. d.

Giải

a.Ta có: b. Ta có:

6 x  . 2 x 

c. Ta có: d. Ta có:

5 x  1 x 

Ví dụ 2. Cho bất phương trình 2 4 2 8 x x x   .

Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình trên hay không?

. 0 a x  . 3 b x  . 4 c x 

Giải

a.Thay 0 x  vào bất phương trình, ta được:

0 8 , mâu thuẫn.

Vậy, 0 x  không phải là nghiệm của bất phương trình.

b. Thay 3 x  vào bất phương trình, ta được:

23 4.3 2.3 8 9 12 6 8 3 2        , luôn đúng.

Vậy, 3 x  là nghiệm của bất phương trình.

c. Thay 4 x  vào bất phương trình, ta được:

2 4 4.4 2.4 8 16 16 8 8 0 0          , luôn đúng.

Vậy, 4 x  là nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Ta có 0 0  cũng là một bất đẳng thức đúng, bởi: a b  khi và chỉ khi a b  hoặc a b  .

Ví dụ 3. Kiểm tra xem giá trị 3 x  là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

. 2 3 9 a x   b. 4 2 5 x x    . 5 3 12 c x x   

Giải

a. Thay 3 x  vào bất phương trình, ta có:

2.3 3 9 9 9     , (mâu thuẫn).

Vậy, 3 x  không phải là nghiệm của bất phương trình.

b. Thay 3 x  vào bất phương trình, ta được:

( 4).3 2.3 5 12 11      (mâu thuẫn).

Vậy, 3 x  không phải là nghiệm của bất phương trình.

c. Thay 3 x  vào bất phương trình, ta được:

5 3 3.3 12 2 3     , (luôn đúng).

Vậy, 3 x  là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 4: Viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau:

a. Tổng của một số nào đó và 4 lớn hơn 9.

b. Hiệu của 8 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn 11.

Giải

a. Gọi số cần tìm là x.

Từ giả thiết “Tổng của x và 4 lớn hơn 9”, ta được 4 9 x   .

Ta có thể chọn 6 x  là một nghiệm của bất phương trình trên.

b. Gọi số cần tìm là x.

Từ giả thiết “Hiệu của 8 và 3 lần số x nhỏ hơn 11”, ta được 8 3 11 x   .

Ta có thể chọn 0 x  là một …