Chuyên đề phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A. BÀI GIẢNG

1. NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Với số a, ta có:

nÕu 0

nÕu 0

a a a a a

    

Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có:

( ) nÕu ( ) 0 ( ) ( ) nÕu ( ) 0

f x f x f x f x f x

    

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức:

. 3 7 4 0 a C x x khi x    

. 5 4 6 6 b D x x khi x     

Giải

a. Với 0 x  thì 3 0 x   nên ta nhận được:

3 7 4 4 4 C x x x     

b. Với 6 x  thì 6 0 x   nên ta nhận được:

5 4 6 11 5 D x x x       .

2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt

đối, bao gồm:

Dạng 1: Phương trình:

( ) f x k  , với k là hằng số không âm.

Dạng 2: Phương trình:

( ) ( ) f x g x 

Dạng 3: Phương trình:

( ) ( ) f x g x 

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

. 5 3 1 a x x    . 5 2 21 b x x   

Giải

a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

5 5 5 5 5

x khi x x x khi x

      

.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu 5 x  phương trình có dạng:

5 3 1 3 5 1 2 4 2 x x x x x x          , thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu 5 x  phương trình có dạng:

3 5 3 1 3 5 1 4 6 2 x x x x x x        , không thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương trình có nghiệm 2 x  .

Cách 2: Với điều kiện:

1 3 1 0 3 x x   

Khi đó, phương trình được biến đổi:

2 5 3 1 2 4

3 5 (3 1) 4 (loạ ) 2 i 6

x x x x x x x x

                     

Vậy, phương trình có nghiệm 2 x  .

b. Viết lại phương trình dưới dạng:

5 2 21 x x  

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có:

5x 0 5 5 0

khi x x x khi x

    

.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu 0 x  phương trình có dạng:

5 2 21 3 21 7       x x x x , thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu 0 x  phương trình có dạng:

5 2 21 7 21 3 x x x x       , thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương trình có nghiệm 7 x  và 3 x .

Cách 2: Với điều kiện:

21 2 21 0 2 x x     (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi:

5 2 21 3 21 7

5 (2 21) 7 21 3

x x x x

x x x x

                  

, thỏa mãn (*)

Vậy, phương trình có nghiệm 7 x  và 3 x .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1: PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

. 3 2 5 a A x x    trong hai trường hợp 0 x  và 0 x  .

. 4 2 12 b B x x    trong hai trường hợp 0 x  và 0 x  .

. 4 2 12 c C x x     khi 5 x  .

. 3 2 5 d D x x    

Giải

a. Ta có:

5 0 5 5 0

x khi x x x khi x

    

Do đó:

3 2 5 0 8 2 0

3 2 5 0 2 2 0

x x khi x x khi x A x x khi x x khi x

                  

b. Ta có:

4 0 4 4 0

x khi x x x khi x

      

Do đó:

4 2 12 0 6 12 0

4 2 12 0 2 12 0

x x khi x x khi x B x x khi x x khi x

                   

c. Ta có:

4 4 5 x x khi x    

Do đó:

4 2 12 8 C x x x     

d. Ta có:

5 5 5 5 5

x khi x x x khi x

      

Do đó:

3 2 5 5 4 7 5

3 2 5 5 2 3 5

x x khi x x khi x D x x khi x x khi x

                   

Ví dụ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

. 2 3 2 2 a A x x khi x     

. 3 3 2 8 3 b B x x x khi x       

Giải

a. Với giả thiết 2 x  , ta suy ra:

2 0 2 2 x x x      

Do đó, A được viết lại: