Chuyên đề đường trung bình của tam giác, của hình thang

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đường trung bình của tam giác

* Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

* Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai

thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

* Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

2. Đường trung bình của hình thang

* Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình

thang.

* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song vói hai đáy

thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2 để suy

ra điều cân chứng minh.

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB

tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Bài 2. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho

AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:

a) EM song song vói DC;

b) I là trung điểm của AM;

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

c) DC = 4DI.

Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định lí 3, Định lí 4 để suy

ra điều cần chứng minh.

Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng

minh:

a) AFD cân tại F; b)  . BAF CDF 

Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của A và D cắt nhau tại E, các

đường phân giác ngoài của B và C cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song với AB và CD;

b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD.

Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang

đê chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định nghĩa đường trung

bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần chứng minh.

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC.

Chứng minh:

a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng;

b) NP = 1 . 2 DC AB 

Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Các tia phân giác

của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của B và C cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ

tự là trung điểm của AD và BC.

a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.

Dạng 4.Tổng hợp