Chuyên đề đối xứng tâm

ĐỐI XỨNG TÂM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

A đối xứng với A' qua O

 O là trung điểm của AA’.

Khi đó ta còn nói:

A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O.

* Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O.

* Hai hình đối xứng qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.

* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau.

* Hình có tâm đối xứng: Điếm O gọi là tâm đối xứng cùa hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình qua điểm O cũng thuộc hình H.

* Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN – NÂNG CAO

Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P đối xứng vói B qua tâm E và Q đối xứng với qua tâm D. Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua tâm A.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua M, G là điểm đối xứng với E qua Q, H là điểm đối xứng với G qua P. Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N.

Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng vói nhau qua một đuờng thẳng thì bằng nhau.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và AC. Một điểm M bất kì thuộc cạnh BC, có điểm đối xứng vói M qua điểm F là Q và điểm đối xứng của M qua điểm F là Q. Chứng minh:

a) A thuộc đường thẳng PQ;

b) BCQP là hình bình hành.

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E và trên cạnh CB lấy điểm E sao cho AE = CF. Chứng minh rằng hai điểm E, F đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo AC, BD.

Dạng 3.Tổng hợp

Bài 5. Cho tam giác ABC điểm D thuộc cạnh BC. Từ D kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AC tại E và đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tai F. Chứng minh hai điểm E và F đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng AD.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AD, BC ở E và F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua O.

Bài 7 Cho góc xOy. Điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O.

Bài 8. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A. Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Tia MA cắt DE tại N. Chứng minh MC = NE.

HƯỚNG DẪN

1. Ta có: BAPC và CAFB đều là hình bình hành

/ /

/ /

AP BC

FA BC  

Vậy F,A,P thẳng hàng. 2. Ta có EBFA, FAGD, GDHC đều là hình hành. Vậy BECH cũng là h bình hành. Vậy E đối xứng với H qua N. 3. a) Tương tự 1. Ta chứng minh được A thuộc đường thẳng PQ.