Chuyên đề diện tích hình thoi

DIỆN TÍCH HÌNH THOI

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.

1 . D 2 S AC B 

 Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo hoặc bằng tích của một cạnh với chiều cao.

1 . D=AD.BH 2 S AC B 

II.MỘT SỐ DẠNG BÀI

Dạng 1: Tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD(AB / /CD) có  AC BD , đường trung bình bằng d. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có   AD 12cm;AB 18cm . Các đường phân giác các góc của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH .

a) Chứng minh rằng EFGH là hình vuông.

b) Tính diện tích hình vuông EFGH .

Dạng 2: Tính diện tích hình thoi

Bài 3: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 2cm và một trong các góc của nó bằng 0 30 .

Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng a , góc tù bằng 0 150 .

Bài 5: Cho hình thoi ABCD . Gọi H, K là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến CD, BC. Chứng minh rằng  AH AK .

Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD(AB / /CD) có E, N, G, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MENG là hình gì?

b) Cho  2 ABCD S 800m Tính MENG S ?

Bài 8: Tùng làm một cái diều có thân là hình tứ giác ABCD. Cho biết AC là trung trực của BD và

 AC 90cm ,  BD 60cm . Em hãy tính diện tích thân diều.

Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất (nhỏ nhất) của một hình

Bài 9: So sánh diện tích của một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi.

Bài 10: Cho hình thoi ABCD . Chứng minh  2 AC.BD 2AB .

HƯỚNG DẪN

Bài 1

Do   AC BD,AC BD nên ta chứng mình được

   EF FG GH HE và  EF EH . Do đó EFGH

là hình vuông. Đường chéo của hình vuông bằng d.

Do đó,  2 EFGH

1 S d 2 .

Bài 2

a) ECD có     0 ECD EDC 45 nên  0 E 90

Tương tự:       0 H G F 90

  AHD BFC(gcg) nên HD = FC. Ta lại có ED = EC nên EH = EF.

Hình chữ nhật EFGH có EH = EF nên là hình vuông.

b) DIBK là hình bình hành, H và F là trung điểm của ID và BK nên HF = IB.

Ta lại có        IB AB AI AB AD 18 12 6(cm)

Hình vuông có hai đường chéo vuông góc nên    2 2 EFGH

1 1 S HF .6.6 18(cm ) 2 2

Bài 3

Hình thoi ABCD có    0 AB 2cm,B 30

Kẻ  AH BC ta tính được  AH 1cm

Đáp số:

2 2cm

Bài 4

K

G

F

I

E

H

A

D C

B

G

E

H F

A B

D C

Đáp số:

2 a

2

Bài 5

Gọi S là diện tích hình thoi.

Ta có:   S BC.AH,S CD.AK

Vì BC = CD nên AH = AK.

Bài 6

Hình thoi ABCD có AB = 17cm

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Đặt    OA x,OB y(x,y 0) , ta có

      2 2 2 46 x y 23;x y 17 289 2

   ABCD

AC.BD 2x.2y S 2xy 2 2

Giải tìm ra được  2xy 240

Vậy  2 ABCD S 240cm .

Bài 7

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và đường chéo hình thang cân, ta CM được

MENG là hình thoi.

b)   2 MENG ABCD 1 S S 400m 2

K H

A

C

D B

O

B

D

A C

M

G

N

E A B

D C

Bài 8

Chứng minh  AC BD

  2 ABCD

1 S AC.BD 2700cm 2

Vậy diện tích thân diều là

2 2700cm .

Bài 9

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng chu vi 4a, suy ra cạnh hình thoi và hình vuông là a. Kẻ

 BH AD , ta có   BH AB a

    2 ABCD MNPQ S BH.AB a S

Vậy hình thoi và hình vuông có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn.

Bài 10

Tương tự bài 9. Ta có  2 ABCD S AB

Mặt khác,  ABCD

1 S AC.BD 2

Từ đó suy ra  2 AC.BD 2AB .

III. PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Phiếu 1

Bài 1: Cho hình thang   // ABCD AB CD có 5 , AB cm  12 , CD cm  8 , BD cm  15 . AC cm 

a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC và cắt CD ở . E Tính . DBE

b) Tính diện tích hình thang . ABCD

Bài 2: Một hình chữ nhật có hai cạnh kề dài 8m và 5m. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật.

Bài 3: Tứ giác ABCD có AC BD  . Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Biết 5 EG cm  , 4 HF cm  . Tính diện tích tứ giác EFGH . Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng a, góc tù của hình thoi bằng 1500.

Bài 5: Tính diện tích hình …