Chuyên đề định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Hình 269

E D

A

C B

a

Hình 270a

B' C'

A

C B

a

Hình 270b

C' B'

B C

A

x

9,5

28,5

8

Hình 271a B C

A

E D

ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định lí Ta-lét đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

ABC

DE BC AD AE DB EC

     

 .

2. Hệ quả của định lí Ta-lét Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

ABC AB AC BC BC B C AB AC B C

               .

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. II.BÀI TẬP MINH HỌA A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tính độ dài đoạn thẳng: Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác. Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng. Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình. 2. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau cách sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét hoặc tính chất của đường thẳng song song cách đều. VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính các độ dài ,x y trong hình 271.

Lời giải a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DE BC  , ta được:

BC AB DE AD  hay 28,5 8 9,5 x 

8.28,5 456 31,58 9,5 19 x     .

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

x

4,2

y

3

6

Hình 271b

B'

C

B A

O

A'

4

8

Hình 272 H K A C

B

D

t10

1 1 1 1 1

Hình 273a

D E F G H

O

A I K L M B

C

x

Hình 273b

C

D

E

F

A I K L M B

G

b) Từ hình 271b ta thấy A B AB   vì cùng vuông góc với AA.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho A B AB   , ta được: AB AO A B A O     hay

6 4,2.2 8, 4 4,2 3 x x     .

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác OAB vuông ở A , ta được: 2 2 2 OB BA AO   hay 2 2 2 8,4 6 106, 06 10, 32 y y      .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 8 AD cm  và 4 DB cm  . Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC . Lời giải (hình 272) Kẻ DH và BK cùng vuông góc với AC thì DH BK  và , DH BK

lần lượt là khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DH BK  thu được DH AD BK AB 

hay 8 2 12 3 DH BK

  .

Ví dụ 3. Hãy chia đoạn AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Hãy nêu rõ cách làm. Lời giải (hình 273) Có hai cách chia một đoạn AB cho trước thành 5 phần bằng nhau. Cách 1: Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét. Kẻ đường thẳng a AB  .

Từ điểm C bất kì trên a , đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau: CD DE EF FG GH     . Gọi O là giao điểm của AH và BC . Vẽ các đường thẳng , , , DO EO FO GO cắt AB theo thứ tự ở , , , I K L M

thì các điểm này chia đoạn AB thành 5 phần bằng nhau. Thật vậy: Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , CD MB GH AI   , ta được:

CO CD HO HG OB MB OA AI   

MB AI   do CD GH  . Chứng minh tương tự, ta được: AI IK KL LM MB     . Cách 2: Sử dụng tính chất của đường thẳng song song cách đều. Kẻ tia Ax , trên đó đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau: CD DE EF FG GH     . Nối GB . Từ , , , C D E F kẻ các đường thẳng song song với GB , chúng cắt

AB lần lượt ở , , , I K L M thì CI , , , , DK EL EM GB lằ năm đường thẳng

song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng AB những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là AI IK KL LM MB     .