Chuyên đề diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đều

DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU

A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

I. Công thức tính diện tích, thể tích hình chóp đều

Diện tích xung quanhcủa hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi với trung đoạn.

Như vậy, ta có: . xq S p d 

Trong đó:

 p là nửa chu vi đáy.

 d trung đoạn.

Diện tích toàn phần của hình chóp đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.

Như vậy, ta có: đáy tp xq S S S  

Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy nhân với chiều cao.

Như vậy, ta có: 1 . 3 V S h 

Trong đó:

 S là diện tích đáy.

 h là chiều cao.

II. Công thức tính diện tích, thể tích hình chóp cụt đều

Với hình chóp cụt đều, ta có:

a. Diện tích xung quanh:

1 ( ') 2 xq S p p d  

Trong đó:

 p và p’ lần lượt là chu vi hai đáy.

 d là đường cao của mặt bên.

b. Thể tích:

1 .( ' ') 3 chãp côt V h B B BB   

Trong đó:

 B, B’ là diện tích các đáy

 h là độ dài đường cao

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm, đáy là hình vuông ABCD cạnh

30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

 Hướng dẫn: Trước tiên, đi tính độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cùng sử

dụng các công thức có sẵn.

Giải – Học sinh tự vẽ hình.

Kẻ SM BC  thì SM là trung đoạn của hình chóp đều S.ABCD (S là đỉnh).

Do tam giác ABC cân tại S nên AM cũng là trung tuyến.

1 1 .30 15( ) 2 2 MB MC BC cm     

Xét SBM  có:

 2 2 2 2 90 25 15 20 ( ) o M SM SB MB cm       

Ta có: 2 2 ( ) ( ) 1 .4.30 60 ( ); 30 900 ( ) 2 ABCD ABCD p cm S cm    

2 2 . 60.20 1200 ( ); S 900 1200 2100 ( ) xq tp S p SM cm cm      

Ví dụ 2:Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình chóp tứ giác đều trong hình 126.

 Hướng dẫn:Ta lần lượt:

 Với các câu a), câu b) sử dụng ngay các công thức có sẵn.

 Với các câu c), trước tiên, đi tính độ dai trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cùng

sử dụng các công thức có sẵn.

Giải:

a) Hình a) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 20m,trung đoạn 20m. Ta có:

 Diện tích xung quanh: 2 (2.20).20 800( ) S m  

 Diện tích toàn phần: 2 2 800 20 1200( ) S m   

b) Hình b) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 7cm, trung đoạn 12cm.

 Diện tích xung quanh: 2 (2.7).12 168( ) S cm  

 Diện tích toàn phần: 2 2 168 7 217( ) S cm   

c) Hình c) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 16cm, trung đoạn 17cm. Ta có:

 Trung đoạn 2 2 17 8 15( ) d cm   

 Diện tích xung quanh: 2 (2.16).15 480( ) S m  

 Diện tích toàn phần: 2 2 480 16 736( ) S m   

Ví dụ 3:(Bài 45/trang 12-SGK) Tính thể tích của mỗi hình chóp đều trong hình 130, 131.

 Hướng dẫn:Trước tiên, đi tính độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago hoặc tính chất

trung tuyến trong tam giác đều. Cuối cùng sử dụng các công thức có sẵn,

Giải:

a. Hình 130 là hình chóp tam giác đều A.BDC. Ta có:

1 10 5 2 BC cm MB MC BC cm     

Trong , BMD  áp dụng định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 2 2 10 5 75 8,66( ) BD MB DM DM DM cm        

Do đó: 2 1 . 43,3( ) 2 BCD S DM BC cm  

Vậy thể tích khối chóp đều A.BDC là:

3 1 1 . . .43,3.12 173,2 ( ) 3 3 BCD V S OA cm   

b. Hình 131 là hình chóp tam giác đều A.BDC. Ta có:

1 8 4 ( ) 2 BC cm MB MC BC cm     

Tương tự, ta có 6,93( ) DM cm 

Từ đó, suy ra: 2 3 27,72 ( ); V 149,69 (cm ). BDC S cm  

Ví dụ 4: Tính diện tích toàn phần của hình chóp lục giác đều, biết cạnh đáy 6 , a cm  cạnh bên

10 , b cm  cho 3 1,73 

 Hướng dẫn:Sử dụng các công thức có sẵn.

Giải:

Ta có:

 Trung đoạn của hình chóp lục giác đều là: 4 d cm 

 Diện tích xung quanh: 2 (3.6).4 72( ) S cm  

 Diện tích đáy:

2

2 3 15,57 ( ) 4 a S cm  

 Diện tích toàn phần: 2 72 15,57 87,57 ( ) tp S cm   