Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Các phương pháp phân tích cơ bản

1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử

vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

( ) 2 2 2 2 28a b 21ab 14a b 7ab 4ab 3b 2a − + = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2x y – z 5y z – y 2 y z – 5y y z y – z 2 5y + = − − = −

( ) ( )( ) m m 3 m 3 m 2 x x x x 1 x x 1 x – x 1 + + = + = + +

1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

( ) ( )( ) 2 2 2 9x – 4 3x – 2 3x – 2 3x 2 = = +

( ) ( )( )

3 3 6 3 2 2 2 2 4 8 – 27a b 2 – 3ab 2 – 3ab 4 6ab 9a b = = + +

( )

2 4 2 2 2 25x –10x y y 5x – y + =

1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử và phối hợp các phương pháp

+ Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

+ Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

3 2 3 2 2 2 2

2 2 2 2

2x – 3x 2x – 3 2x 2x – 3x 3 2x x 1 – 3 x 1 x 1 2x – 3

x –2xy y – 16 x – y 4 x – y – 4 x – y 4

+ = + + = + + = +

+ = − = +

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 2 3 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3x y – 6x y – 3xy – 6axy – 3a xy 3xy 3xy x – 2y – y – 2ay – a 1

3xy x – 2x 1 – y 2ay a 3xy x –1 – y a

3xy x –1 – y a x –1 y a 3xy x –1– y – a x –1 y a

+ = +

    = + + + = +          = + + + = + +   

1.5. Một số ví dụ minh họa

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2 2 2 2 5x y 20x y 35xy + − b) 3 3 3 3 4 2 4 5 40a b c x 12a b c –16a b cx +

c) ( ) ( ) 3x x – 2y 6y 2y – x + d) ( )( ) ( )( ) b – 2c a – b – a b 2c – b +

• Định hướng tư duy. Quan sát các đa thức ta nhận thấy có nhân tử chung trong đa thức

thứ nhất và thứ hai. Với hai đa thức còn lại thì xuất hiện các thừa số đối nhau, như vậy để

có nhân tử chung ta có thể đổi dấu một hạng tử. Do đó để phân tích các đa thức trên thành

nhân tử ta thực hiện các bước như sau.

+ Bước 1. Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số.

+ Bước 2. Tìm các thừa số chung là đơn thức, đa thức trong mỗi hạng tử của đa

thức.

+ Bước 3. Tiến hành đưa nhân tử chung bao gồm ước chung lớn nhất của hệ số và

thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc.

Lời giải

a) ( ) 2 2 2 2 5x y 20x y 35xy 5xy xy 4x – 7y + − = +

b) ( ) 3 3 3 3 4 2 4 5 3 3 2 2 40a b c x 12a b c –16a b cx 4a b c 10c x 3bc – 4ab x + = +

c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3x x – 2y 6y 2y – x 3x – 6xy 12y – 6xy 3x –12xy 12y 3 x – 2y + = + = + =

d) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) b – 2c a – b – a b 2c – b b – 2c a – b a b 2a b – 2c + = + + =

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 2 2 2 2 a y b x – 2abxy + b) ( ) 2 100 – 3x – y

c) 3 3 3 27x –a b d) ( ) ( ) 3 3 a b – a – b +

e) ( ) ( ) 2 2 7x 4 – 2x 1 − + f) ( ) ( ) 2 2 x – y 4 – 2x 3y 1 + + −

g) 2 2 x – 2xy y 4 + − h) 2 2 2 x – y – 2yz – z