Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức

CHƯƠNG I

PHÉP NHÂN VÀ CHIA

CÁC ĐA THỨC

§1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

§2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa

thức rồi cộng các tích với nhau.

Nếu kí hiệu các đơn thức bởi các chữ A, B, C, D, … thì có thể viết gọn quy tắc trên như

sau:

( ) . . . + = + A B C A B AC

2. Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự như phép nhân của một số với một tổng và

chú ý đến dấu của từng đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” hoặc “ – ” cho thích

hợp:

( ) . . . . + − = + − A B C D A B AC A D

Ví dụ: ( ) 2 2 4 3 2 3 . 4 1 12 3 3 − + = − + x x x x x x

3. Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng

hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:

( )( ) + + = + + + A B C D AC AD BC BD

4. Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa

thức kia.

( )( ) ( ) ( ) . + + − = + − + + −

= + − + + −

A B C D E A C D E B C D E

AC AD AE BC BD BE

Ví dụ:

( )( ) ( ) ( ) 3 3 3

4 2 3

4 3 2

2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

2 4 2 2 1

2 4 4 1

+ − − = − − + − −

= − − + − −

= + − − −

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. LÀM TÍNH NHÂN

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức

( ) ( )( )

. . .

.

+ = +

+ + = + + +

A B C A B AC

A B C D AC AD BC BD

Chú ý các phép tính về lũy thừa

( )

( ) 0

. ;

;

1 0 .

+ =

=

= ≠

n m n m

m n nm a a a

a a

a a

Ví dụ 1. (Bài 1, trang 5 SGK)

Làm tính nhân :

a) 2 3 1 5 ; 2   − −     x x x b) ( ) 2 2 2 3 ; 3 − + xy x y x y c) ( ) 3 1 4 5 2 . . 2   − + −     x xy x xy

Giải

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có:

a) 2 3 2 3 2 2 5 3 2 1 1 1 5 .5 . . 5 ; 2 2 2   − − = − − = − −     x x x x x x x x x x x

b) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 . . . 2 ; 3 3 3 3 3 3 − + = − + = − + xy x y x y xy x y x x y y x y x y x y x y

c) ( ) 3 4 2 2 2 1 5 4 5 2 . 2 . 2 2   − + − = − + −     x xy x xy x y x y x y

Ví dụ 2. (Bài 7, trang 8 SGK)

Làm tính nhân :

a) ( )( ) 2 2 1 1 ; − + − x x x b) ( )( ) 3 2 2 1 5 . − + − − x x x x

Từ câu b) hãy suy ra kết quả của phép nhân ( )( ) 3 2 2 1 5 x x x x − + + − .

Giải:

a)Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ta có:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1. 1 x x x x x x x x − + − = − − − + −

3 2 2 3 2 2 2 1 3 3 1 x x x x x x x x = − − + + −= − + −

b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 5 5 2 5 5 1. 5 x x x x x x x x x x x − + − − = − − − + − − −

3 4 2 3 2 5 10 2 5 5 x x x x x x x = − − + + − −+

4 3 2 7 11 6 5 x x x x = − + − + −.

Vì ( ) 5 5 x x − = − − nên :

( )( ) ( )( ) 3 2 3 2 2 1 5 2 1 5 x x x x x x x x − + − − = − − + − −

( ) 4 3 2 7 11 6 5 x x x x = −− + − + −

4 3 2 7 11 6 5 x x x x = − + − + .

Ví dụ 3. ( Bài 8, trang 8 SGK)

Làm tính nhân :

a) 2 2 1 2 ( 2 ) 2 x y xy y x y   − + −    

; b) ( ) 2 2 ( ) x xy y x y − + + .

Giải:

a) 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2 2 4 2 2 x y xy y x y x y x y x y xy xy y   − + − = − − + + −    

.

b)( ) 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 ( ) x xy y x y x x y x y xy y x y x y − + + = + − − + + = + .

Ví dụ 4. ( Bài 10, trang 8 SGK)

Thực hiện phép tính:

a) ( ) 2 1 2 3 5 2 x x x   − + −    

; b)( ) 2 2 2 ( ) x xy y x y − + − .

Giải:

a)Ta có ( ) 2 3 2 2 1 1 3 2 3 5 5 10 15 2 2 2 x x x x x x x x   − + − = − − + + −    

3 2 1 23 6 15 2 2 x x x = − + − .

b) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 2 x xy y x y x x y x y xy y x y − + − = − − + + −

3 2 2 3 3 3 x x y xy y = − + − .

Ví dụ 5. (Bài 15, trang 9 SGK)

Làm tính nhân :

a) 1 1 2 2 x y x y    + +      

; b) 1 1 2 2 x y x y    − −      

.

Giải:

a) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 4 2 2 4 x y x y x xy yx y x xy y    + + = + + + = + +      

.

b) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 x y x y x xy yx y x xy y    − − = − − + = − +      

.

DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Phương pháp giải

* Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa …