Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tứ giác

Chương I.

TỨ GIÁC

Bài 1. TỨ GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai

đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

2. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng

chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. (Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì

thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi).

3. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°

    360 A B C D + + + = 

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. TÍNH GÓC CỦA TỨ GIÁC Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất về tổng các góc của tứ giác, của tam giác

Ví dụ 1. (Bài 1 SGK) Tìm x ở hình 6 SGK

Giải

a)

    360 95 65 360

2 160 360

P Q R S x x

x

+ + + = ⇒ + + + =

⇒ + =

   

 

0 0 0 0 2x 360 160 200 x = 100 ⇒ = − = ⇒

b)     0 0 0 360 3 4 2 360 10 360 36 . o M N P Q x x x x x x + + + = ⇒ + + + = ⇒ = ⇒ =

a) b) Hình 6 SGK Ví dụ 2: (Bài 2 SGK) Góc kề bù với 1 góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác

950

650

x

x S

R

Q

P

4x 3x

2x x Q P

N M

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a

b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ

chọn một góc ngoài)     1 1 1 1 ? A B C D + + + =

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài tứ giác?

a) b) Hình 7 SGK Giải

a) Góc trong còn lại là  ( ) 0 0 0 0 0 360 75 90 120 75 D = − + + = . Do đó

    0 0 0 0 1 1 1 1 105 . 90 . 60 . 105 A B C D = = = = .

b) Tổng các góc trong     0 360 . A B C D + + + =      ( )  ( )  ( )  ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 180 180 180 180 A B C D A B C D + + + = − + − + − + −

    ( ) 0 0 0 0 720 720 360 360 . A B C D = − + + + = − =

c) Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 0 360 .

Dạng 2. VẼ TỨ GIÁC Phương pháp giải

Ví dụ 3: (Bài 4 SGK) Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại tứ giác ở hình 10 SGK vào vở. Giải Vẽ ABC ∆ biết hai cạnh và một góc xen giữa:

 0 2 ,BC 4 , 70 . AB cm cm B = = =

Vẽ ADC ∆ biết ba cạnh: AC đã có, D 1,5 :CD 3 . A cm cm = =

Dạng 3. TÍNH ĐỘ DÀI. HỆ THỨC GIỮA CÁC ĐỘ DÀI Phương pháp giải

D

C

B

A 1

1 1

1 75°

120°

D

C

B

A

1

1 1

1

Thường vẽ một tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của một tứ giác, sau đó xác định đỉnh thứ 4.

70°

Hình 10 SGK

4cm

3cm 2cm

1,5cm D

C B

A

Sử dụng các định lí có liên quan đến độ dài, như bất đẳng thức tam giác, Định lí Pi-

ta-go.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tứ giác, mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác. Giải Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC:

AC AB BC < + (bất đẳng thức trong ABC ∆ ); AC AD DC < + (bất đẳng thức trong ADC ∆ ) Suy ra: 2AC AB BC AD DC < + + + . Do đó: D . 2 AB BC A DC AC + + + <

Vậy AC nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác . ABCD Chứng minh tương tự, BD nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác

. ABCD C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1). Cho tứ giác ABCD có   0 0 130 , 90 , A B = = góc ngoài tại định C bằng 0 120

.Tính D .

2. (Dạng 1). Tứ giác ABCD có   0 0 80 , 70 . C D = = Các tia phân giác của các góc A và B

cắt nhau tại I. Tính . AIB 3. (Dạng 1). Bốn góc của một tứ giác có thể đều là góc nhọn (góc tù, góc vuông) được không? Tại sao? Suy ra trong một tứ giác có nhiều nhất mấy góc nhọn?

4. (Dạng 1). Tứ giác EFGH có   0 0 70 , 80 . E F = = Tính  , G H biết rằng:   0 20 G H − =

5. (Dạng 1). Tính các góc của tứ giác MNPQ , biết rằng:   : : : 1:3: 4:7 M N P Q =

6. (Dạng 2). Vẽ tứ giác ABCD biết:   0 0 130 , 90 ,AB 2 ,BC 3 A D cm cm = = = =

3 . AC cm = 7. (Dạng 3). Tính độ dài của các cạnh , , , a b c d của một tứ giác có chu vi bằng 76cm

và : : : 2 : 5 : 4 : 8 a b c d = . 8. (Dạng 3). Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4, 10?

9. (Dạng 3). Đường chéo AC của tứ giác ABCD chia tứ giác đó thành hai tam giác có chu vi là 25cm và27cm . Biết chu vi của tứ giác bằng32cm . Tính độ dài AC .

10. (Dạng 3). Tứ giác ABCD có   0 0 110 , 70 B D = = , AC là tia phân giác của góc A. Chứng

minh rằng CB CD = . 11. (Dạng 3). Chứng minh trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó. 12. (Dạng 3). Chứng minh …