Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng

Chương III

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

§1. ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Đoạn thẳng tỉ lệ.

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng ′ ′ A B và ′ ′ C D nếu có tỉ lệ thức ′ ′ = ′ ′ AB A B CD C D hay . = ′ ′ ′ ′ AB CD A B C D

2. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đọan thẳng tương ứng tỉ lệ.

, . //

∆  ⇒ = =  

ABC AD AE AD AE DE BC AB AC DB EC

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

Phương pháp giải

Thường sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức.

Ví dụ 1. (Bài 3 SGK)

Cho biết độ dài của AB gấp 5 lần độ dài của CD và độ dài của ′ ′ A B gấp 12 lần độ dài của CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và ′ ′ A B .

Giải

5 5 . 12 12 = = ′ ′ AB CD A B CD

Ví dụ 2. (Bài 19 SGK)

Cho hình thang ( // ). ABCD AB CD Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a) ; = AE BF ED FC b) ; = AE BF AD BC c) . = DE CF DA CB

Giải

a) Gọi I là giao điểm của a và AC. Ta có:

// DC a nên ; = AE AI ED IC

// a AB nên . = AI BF IC FC

Suy ra = AE BF ED FC

b) Lần lượt chứng minh . = = AE AI BF AD AC BC

c) Lần lượt chứng minh . = = DE CI CF DA CA CB

Ví dụ 3. (Bài 4 SGK)

Cho biết ′ ′ = AB AC AB AC (H.6 SGK). Chứng minh rằng:

a) ; ′ ′ = ′ ′ AB AC B B C C

b) . ′ ′ = ′ BB CC AB AC

Giải

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức:

. ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ⇒ = ⇒ = ′ ′ ′ ′ − − AB AC AB AC AB AC AB AC AB AB AC AC B B C C

. ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − = ⇒ = ⇒ = AB AC AB AB AC AC BB CC AB AC AB AC AB AC

Dạng 2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Phương pháp giải

Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tính toán.

Ví dụ 4. (Bài 5 SGK)

Tính x trong các trường hợp sau (H.7 SGK);

a) // MN BC b) // PQ EF

Giải

a) Xét ∆ABC có // , MN BC theo Định lí Ta-lét ta có:

4 5 4.3,5 2,8. 3,5 5 = ⇒ = ⇒ = = AM AN x MB NC x

b) Đáp số: 6,3. = x

Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC

Phương pháp giải

Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Biến đổi tỉ lệ thức nhận được để đi đến điều phải chứng minh.

Ví dụ 5. Cho hình thang ( // ). ABCD AB CD Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các

cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và . F Chứng minh rằng: 1. + = AE CF AD BC

Giải

Gọi K là giao điểm của AC và . EF

Xét . ADC ∆ // EK DC ta có:

. AE AK AD AC = ( )1

Xét . ABC ∆ // KF AB ta có:

. CF CK BC AC = ( ) 2

Từ ( )1 và ( ) 2 suy ra 1. AE CF AK CK AK CK AC AD BC AC AC AC AC + − = − = = =

C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1). Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng AB sao cho 1 . 2 MA MB =

Tính các tỉ số AM AB và . MB AB

2. (Dạng 1). Cho điểm C thuộc đoạn thẳng . AB

a) Biết 20 AB = cm, 2. 3 CA CB = Tính độ dài , . CA CB

b) Biết . AC m AB n = Tính tỉ số . AC CB

3. (Dạng 1).Cho đoạn thẳng . AB Điểm C thuộc đoạn thẳng AB , điểm D thuộc tia đối

của tia BA sao cho 2. CA DA CB DB = = Biết 4 CD = cm, tính độ dài . AB

4. (Dạng 2). Cho hình thang ( ) // . ABCD AB CD Một đường thẳng song song với ha đáy,

cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự ở E và . F Tính , FC biết 4 AE = cm,

2 ED = cm, 6 BF = cm.

5. (Dạng 2). Cho tam giác . ABC Điểm D thuộc cạnh BC sao cho 1 . 4 BD BC = Điểm E

thuộc đoạn thẳng AD sao cho 2 . AE ED = Tiính tỉ số . AK KC

6. (Dạng 3). Cho hình thang ( ) // , ABCD AB CD các đường chéo cắt nhau ở . O Chứng

minh rằng . . . OAOD OB OC =

7. Dạng 3. Cho tam giác , ABC điểm D thuộc cạnh . BC Qua D kẻ các đường thẳng

song song với , , AC AB chúng cắt , AB AC theo thứ tự ở E và . F Chứng minh hệ thức:

1. AE AF AB AD + =