Đề thi chon học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lơp 8 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

UBND TỈNH (MẬT DANH) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 1 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/05/2019 _____________________________________________

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức: .

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ? Câu 2 (6,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. b) Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225. c) Đa thức f(x) chia cho x + 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1).

d) Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 3 (5,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

c) Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0.

Tính giá trị của biểu thức: .

Câu 4 (7,0 điểm) 4.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:

a) Tứ giác EGFK là hình thoi. b) AF2 = FK.FC c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC. 4.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của

góc A là AD = d. Chứng minh rằng: .

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

--- Hết --- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

4 2

2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) . 1 1 1 1                     

x x x x x x x x P x x x x

2

2 3 2 3 1     x x C x

16( ) 3( ) 2038( )       x y y z z x B z x y

1 1 2   b c d

a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c        

DeThi.edu.vn

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức: .

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ?

Giải:

* ĐKXĐ: x ≠ ±1

a)

b) =

Để P Z thì Z x – 1 Ư(1) = {1; -1}

+) Với x-1 = 1 thì x = 2 (TMĐKXĐ) +) Với x-1=-1 thì x = 0 (TMĐKXĐ) Vậy P nguyên khi x {2;0}. Câu 2 (6,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128. b) Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225. c) Đa thức f(x) chia cho x + 1 dư 4, chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1).

d) Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Giải: a) x(x+ 4)(x+ 6)(x + 10) + 128 = [x(x+10)].[(x+4)(x+6)] + 128 = ( x2 + 10x).(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x = a, ta có: a(a + 24) + 128 = a2 + 24a + 128 = (a+8)(a+16) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)(x + 5 + )(x + 5 - )

4 2

2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) . 1 1 1 1                     

x x x x x x x x P x x x x

4 2

2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) . 1 1 1 1                     

x x x x x x x x P x x x x

4 2 2 2 2

2 3 ( 4 1) ( 2 1) ( 2 1) 1 . 1 1                  

x x x x x x x x P x x

4 2 2

2 3 1 1 . 1 1       x x x x x 4 2 2

2 3 ( ) ( 1) 1 . 1 1         x x x x x x x 2 2 2

2 3 x(x 1)( 1) ( 1) 1 . 1 1           x x x x x x x 2 2 2

2 2 (x 1)( 1) 1 . 1 ( 1)( 1)           x x x x x x x x

2 x 1 1    

x x

2 x 1 1    

x P x

x(x 1) 1 1     x

1

1   x x

 1

1  x   



17 17

DeThi.edu.vn