Đề giao lưu học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 - 2019

MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề gồm có 01 trang

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M = (a+1).(a+3).(a+5).(a+7) +15

b) Cho và . (a, b, c, x, y, z khác 0)

Chứng minh rằng

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

b) Tìm các cặp (x,y) nguyên dương thỏa mãn:

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm số nguyên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1. b) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm)

Cho ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Các điểm P thuộc cạnh AB và điểm Q thuộc cạnh AC thay đổi sao cho

a) Chứng minh

b) Chứng minh , biết

c) Chứng minh chu vi APQ có giá trị không đổi khi P di chuyển trên cạnh AB và Q di chuyển trên cạnh AC sao cho

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: .

Chứng minh:

(Học sinh không được sử dụng máy tính)

..........................Hết........................

Họ và tên học sinh:………………………………………Số báo danh:……………….

1 x y z a b c    0 a b c x y z   

2 2 2

2 2 2 1. x y z a b c   

2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18 x x x x x x          

1 1 1 3 x y   



· · . PMQ ABC 

2 . ; 4 BC BP CQ 

2

MPQ

ABC

S PQ S BC  · 0 60 ; PMQ 



· · . PMQ ABC 

2 2 2 3 x y z   

z x 3. x y xy y z z   

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

Họ và tên Giám thị giao đề:……………………………Chữ ký:………………………

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 - 2019

MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

ý Nội dung đáp án Điểm

M=(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+15

= x(x+8) +15, với x= a2+8a+7 0,25

= x2+8x+15 =( x+3)(x+5) 0,25

=(a2+8a+7+3) (a2+8a+7+5)

=(a2+8a+10) (a2+2a+6a+12) 0,25

a

=(a2+8a+10) [a(a+2)+6(a+2)] =(a2+8a+10)(a+2)(a +6) 0,25

Từ

ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có

0,25

0,25

b

0,25

Câu 2 (2,0 điểm)

ý Nội dung đáp án Điểm

a

ĐKXĐ : 0,25

ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz     



2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c      

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc       

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc       

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c    

18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

7 ;6 ;5 ;4         x x x x

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản. Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

0,25

18(x+7) - 18(x+4) = (x+7)(x+4)

18x+126 -18x -72 = x2+11x+28

x2+11x-26 = 0 x2+13x-2x-26 = 0

x(x+13) - 2(x+13)=0 (x+13)(x-2)=0 0,25

x=-13 hoặc x=2 (đều thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= {2;-13} 0,25

, x, y nguyên dương

Do vai trò của x và y như nhau, không mất tính tổng quát

giả sử . Từ ta có nên (1) 0,25

Mặt khác, do nên . Do đó:

nên (2)

Từ (1) và (2) ta có 0,25

- Với y = 4 ta được: nên x = 12

- Với y = 5 ta được: (loại)

(vì x không là số nguyên)

- Với y = 6 ta được: nên x = 6 0,25

b

Vậy (x;y) phải tìm là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) 0,25

Câu 3 (2,0 điểm)

ý Nội dung đáp án Điểm

Ta có n5 + 1 n3 + 1, n -1 n5 + n2 - n2 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) - ( n2 - 1) n3 + 1 (n - 1)(n + 1) (n+1)(n2 - n + 1) n - 1 n2 - n + 1 0,25 a

n(n - 1) n2 - n + 1

n2 - n n2 - n + 1 (n2 - n + 1) - 1 n2 - n + 1 0,25

 1 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18 x x x x x x         



18

1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1             x x x x x x

1 1 1 4 7 18 x x     





 

 



1 1 1 3 x y  

x y  1 1 1 3 x y   1 1 3 y  3 y 

1 x y   1 1 x y 

1 1 1 1 1 2 3 x y y y y      6 y 

4 6 y   1 1 1 1 3 4 12 x   

1 1 1 2 15 3 5 15 2 x x     

1 1 1 1 3 6 6 x   

M   M  M  M  M  M  M  M

DeThi.edu.vn