Xem trước nội dung
Trường THCS Nghi Hương Đề thi thử chọn HSG Toán 8
Năm học:2014-2015
Câu 1: (5 điểm) Cho biểu thức :
1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3.
Câu 2:(4 điểm)
a)Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 với m, n Z.
b)Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 –n .
c)Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1. Câu 3: (5 điểm) a)Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7
b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1)
Câu 4: (6 điểm) Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD , K là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB. b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I.
2 2 2 2
1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y
M
8
DeThi.edu.vn
ĐÁP ÁN
Câu 1. (5,5 điểm - mỗi câu 1 điểm)
MTC :
1.
.Với thì giá trị biểu thức được xác định.
2. Để P =3
Các ước nguyên của 2 là :
Suy ra:
(loại).
(loại)
Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.
Câu 2: (4 điểm – câu a:1,5 điểm;câu b:1 điểm;câu c:1,5điểm)
a) Ta có : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
1 1 x y x y
2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
x x y y x y x y x y x y x y xy P x y x y x y x y
P x y xy 1; ; 1 x x y y
3 1 2 x y xy x y xy
1 1 2 x y
1; 2.
1 1 0 1 2 3 x x y y
1 1 2
1 2 1
x x
y y
1 2 3
1 1 0
x x
y y
1 2 1 1 1 2 x x y y
DeThi.edu.vn
= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5). (1 đ)
Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120. (0,5 đ)
b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) được thương n + 3 dư 2 (0,5 đ)
Muốn chia hết ta phải có 2 n(n-1) 2 n
Ta có: (0,25đ)
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -6
n(n-1) 0 2 2 -3
loại loại
Vậy n = -1; n = 2 (0,25đ)
c) Biến đổi:
n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + 1 (0.5đ)
(n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25đ)
n – 1 n2 – n + 1 (vì n + 1 0 ) (0.25đ)
Nếu n = 1 thì ta được 0 chia hết cho 1 (0.25đ)
Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1
Do đó không thể xảy ra quan hệ n – 1 chia hết cho n2 – n +1 trên tập hợp số nguyên dương
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1 (0.25đ)
Câu 3 : ( mỗi câu 2,5 đ)
DeThi.edu.vn
a) Ta có: C = a + b = ( (ĐPCM)
b) Do a, b, c là các số dương nên ta có;
(a – 1)2 (1)
Tương tự (b + 1)2 4b (2)
(c + 1)2 4c (3) Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có:
(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1)
((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64
(b + 1)(a – 1)(c + 1) 8 (đpcm)
Câu 4 :
AP // DQ
Xét tam giác IDQ có . AP = DQ
Theo định lý Ta Lét trong tam giác ta có :
Tam giác BID là tam giác vuông tại B vì AO DB và AO là đường trung bình của BID Điểm K là trung điểm của IB. (Do DK là đường trung tuyến của BID ) . b). Với B và D cố định nên đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định. Mặt khác AC BD , BI DB và vai trò của A và C là như nhau . Nên quỹ tích của A là đường thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là đường thẳng đi qua B và vuông góc với BD trừ điểm B.
Đảo: Với A và I chạy trên các đường đó và AD = AI .Thì AP = AB và CQ =
CD.
Thật vậy : Do AP // DQ suy ra mà AB = CD
ĐPCM.
7 4 4 1 4
12 3 2 4 1 4 3 2 4 1 ) 4 3 a ab a b a
2 2 2 2 0 0 1 2 2 1 1 4 a a a a a a a
2 1
AI AD ID IA AQ
AP ID
IA 2 2 1
2 1
3 1
DQ AP AQ
AP ID
IA 2 2 1
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
