Chuyên đề trung điểm của đoạn thẳng

Trang 1

BÀI 6. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được khái niệm trung điểm của đoạn thẳng.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng

để tính độ dài đoạn thẳng.

+ Chứng minh được một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Trung điểm của đoạn thẳng

Định nghĩa

Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B.

2. Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng

Cách 1. Vẽ theo độ dài

Để vẽ trung điểm M của đoạn thẳng   AB a cm  ta vẽ điểm M trên tia AB sao

cho   a AM cm 2 

Cách 2. Gấp giấy

Gấp giấy sao cho điểm A trùng với điểm B.

Nếp gấp cắt đoạn AB tại trung điểm M của AB.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TRUNG

ĐIỂM CỦA

ĐOẠN

THẲNG

Định nghĩa

Cách vẽ

M là trung điểm

AB

MA MB 

1

2

3

Đo đoạn thẳng AB

Tính AM: 1 2 AM AB 

Vẽ điểm M trên đoạn AB

Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng.

 Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 2 AB MA MB   .

 Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA MB AB   .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trên tia Mx lấy hai điểm N và P sao cho 3 MN cm; 7 MP  cm. Gọi I là trung điểm của NP.

Tính độ dài đoạn thẳng MI.

Hướng dẫn giải

Trên tia Mx, ta có MP MN  nên điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Do vậy

7 3 4 NP MP MN      cm.

I là trung điểm của đoạn NP nên 2 2 NP NI IP    cm.

Do N nằm giữa M và P; I nằm giữa N và P nên N nằm giữa M và I.

Khi đó ta có 3 2 5 MI MN NI      cm.

Vậy 5 MI  cm.

Ví dụ 2.

a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó sao cho 5 AB  cm; 12 AC  cm. Tính BC.

b) Gọi O là trung điểm của đoạn BC. Tính OB;OC;OA.

Hướng dẫn giải

a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

Khi đó 12 5 7 BC AC AB      cm.

b) Do O là trung điểm của BC nên 3,5 2 BC OB OC    cm.

Do B nằm giữa A và C; O nằm giữa B và C nên B nằm giữa A và O.

Khi đó ta có 5 3,5 8,5 AO AB BO      cm.

Vậy 3,5 BO CO   cm; 8,5 AO  cm.

Ví dụ 3. Lấy ba điểm A,B,C trên đường thẳng xy sao cho 10 AB  cm; 6 AC  cm và 16 BC  cm.

a) Trong ba điểm A,B,C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

Trang 4

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính MC.

c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính CN.

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét thấy   10 6 16 AB AC BC     nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

b) M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên 3 2 AC AM MC    cm.

c) N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên 8 2 BC CN BN   cm.

Ví dụ 4. Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C sao cho 24 AB  cm; 8 AC  cm và 16 BC  cm.

a) Trong ba điểm A,B,C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Lấy điểm M thuộc xy sao cho A là trung điểm của BM. Tính BM và AM.

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét thấy   8 16 24 AC BC AB     nên điểm C nằm giữa hai điểm A và B.

b) A là trung điểm của MB nên 2 MB AM AB   mà 24 AB  cm. Từ đó suy ra 24 AM  cm;

48 BM  cm.

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1. Trên tia Ox xác định hai điểm A và B sao cho 4 OA  cm; 8 OB  cm.

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không? Vì sao?

b) So sánh hai đoạn thẳng OA và AB.

Câu 2. Lấy ba điểm A,B,C trên đường thẳng xy sao cho 8 AB  cm; 6 AC  cm và 14 BC  cm.

a) Trong ba điểm A,B,C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính MC.

c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính NA.

Câu 3. Trên đường thẳng xy lấy điểm O và hai điểm A; B sao cho 3 OA  cm; 4 OB  cm (A và B nằm

khác phía đối với O). Vẽ các điểm M và N trên đường thẳng xy sao cho A là trung điểm của OM, B là

trung điểm của ON. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Bài tập nâng cao

Câu 4. Cho đoạn thẳng 4 MP  cm, N là điểm nằm giữa M và P. Gọi Q là trung điểm của MN và R là

trung điểm của NP. Tính độ dài đoạn QR.