Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2023 - 2024 trường THPT chuyên Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2023 – 2024

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 2 2 4 5 4 2(2 3 ) 4 0. x y xy x y      

b) Cho , , a b c là các số thực khác không thỏa mãn 1 1 1 0. a b c   

Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 0. 2 2 2 a bc b ca c ab       Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình 2 2 ( 2)(2 ) 8

11 4( ) 1 3 .

x y

x y x y xy

        

b) Giải phương trình 2 3 11 2 2 2. x x x x       Câu 3. (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số thực x để

5

2 p

x x 

 

là số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì 2024 2023 4 1 A n n n n     không phải là số nguyên tố.

Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn  O đường kính AB cố định, C là một điểm chạy trên

đường tròn  O không trùng với A và . B Các tiếp tuyến của đường tròn  O tại A và C cắt

nhau tại điểm . M Đường thẳng MB cắt AC tại F và cắt đường tròn  O tại E (E khác B ). a) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng . AC Chứng minh tam giác OEM đồng dạng

với tam giác . BHM

b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng . AB Hai đường thẳng MB

và CK cắt nhau tại .I Tính tỷ số FI

AB khi tổng diện tích hai tam giác IAC và IBC lớn nhất.

c) Chứng minh rằng 1 1 2 . BM BF BE  

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn ; 0 a b c ab bc ca      và 1 a b c   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 5 2 P a b b c a c ab bc ca         

.

Câu 6. (0,5 điểm) Cho , , x y z là các số chính phương. Chứng minh rằng     1 1 1 x y z    luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

------HẾT------ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh: ..................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Chú ý: - Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không qui tròn.

Câu Nội dung Điểm

Câu

1a 1,0 đ

Ta có 2 2 2 2 4 5 4 2(2 3 ) 4 0 (2 1) 4( 1) 1 x y xy x y x y y             0,25

2 2

2 2 (2 1) 4( 1) 1

(2 1) 4( 1) 0

x y y

x y y

            

0,25

TH1: 2 2 2 1 0 1 (2 1) 4( 1) 0 1 0 1 x y x x y y y y                  

. 0,25

TH2:

2 2 2

2 2

2 1 0 ( ) 4( 1) 1 (2 1) 4( 1) 1

(2 1) 1 (2 2) 1 ( ). 1 0 1

x y vn y x y y

x y x vn y y

                             

Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn (x; y) = (-1; -1).

0,25

Câu

1b 1,0 đ

1 1 1 0 0 ab bc ca a b c        0,25

Ta có : 2 2 2 ( ) ( )( ). a bc a bc ab ca a b a c         Tương tự có : 2 2 2 ( )( ); 2 ( )( ). b ca b c b a c ab c a c b        

0,5

2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a bc b ca c ab a b a c b c b a c a c b               1 1 1 ( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) b c a c a b a b a c b c a b a c b c a b b c a c                  

0,25

Câu

2a 1,5 đ

ĐK: 11 4( ) 0 x y   

    ( 2)(2 ) 8 2 4 2 4 x y x y xy x y xy            0,25

Thế vào phương trình (2) ta có:

2 2 2 2 11 2(4 ) 3 1 0 3 2 3 1 0 xy x y xy xy x y xy           0,25

 

2 2 3 2 1 3 2 0 xy x y xy        0,25

2(1 ) (1 )(2 ) 0 3 2 1 xy xy xy xy           2 1 2 0 3 2 1 xy xy xy

              

0,25

1 xy   (Do 2 3 2 0, 2 3 2 1

xy xy xy

      

) 0,25