Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 - 2024 sở GDĐT Đà Nẵng

GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐĐÀ NẴNG 2023-2024 Người thực hiện: Phan Thanh Tịnh (K36 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng)

1 Đềbài

Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi: 8/6/2023

Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức P = x + y √x −√y : √x √y − x √xy + y − √xy √xy −x

và biểu thức

Q = x√x −y√y −x√y + y√x

2(√x −√y) với x > 0, y > 0 và x ̸= y. Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng

minh rằng với các sốx, y dương phân biệt tùy ý thì 4Q + 1 > 2P. Bài 2. (1,5 điểm) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = kx + 5. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. a) Khi k = −4, tính diện tích hình thang ABDC. b) Tìm tất cảcác giá trịcủa k đểAD và BC cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn đường kính CD. Bài 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình 10x2 + 3x + 2 = (6x + 1) √

x2 + 2.

b) Giải hệphương trình

( (x2 −y)√x −2 = x(y −x + 2) (y −1)(y −3x −3) = x2 −3x + 3 −8√x −2 .

Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, với AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ởD. Đường tròn đường kính AD cắt đường tròn đường kính OD tại điểm E (khác D). Gọi F là giao điểm của đoạn thẳng OE và đường tròn (O). a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng và CF là tia phân giác của góc BCE. b) Các tia AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính AD tại các điểm G, K (đều khác A). Chứng minh rằng OD đi qua trung điểm của đoạn thẳng GK. Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC, đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại M. Lấy điểm E nằm giữa A và M. Trên cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, F sao cho AD = AE và BF = BE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF lần lượt cắt AB và BC tại G (khác E) và H (khác F). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF và các đường thẳng CM, ED, GH đồng quy. Bài 6. (1,5 điểm) a) Cho các sốthực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

2008(x2 + y2 + z2) + 15 1

x + 1

y + 1

z

≥2023(x + y + z).

b) Cho phương trình x2 −4mn2x −4mn3 −m = 0, với m và n là các tham số. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên dương (m; n) đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 đều là sốnguyên và x1 + x2 + 1 là sốnguyên tố.

1

2 Lời giải

Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức P = x + y √x −√y : √x √y − x √xy + y − √xy √xy −x

và biểu thức

Q = x√x −y√y −x√y + y√x

2(√x −√y) với x > 0, y > 0 và x ̸= y. Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng

minh rằng với các sốx, y dương phân biệt tùy ý thì 4Q + 1 > 2P.

Lời giải: Đặt √x = a, √y = b thì a, b > 0 và a ̸= b (do x > 0, y > 0 và x ̸= y). Ta có

P = x + y √x −√y : √x √y − x √xy + y − √xy √xy −x

= a2 + b2

a −b : a

b − a2

ab + b2 − ab ab −a2

= a2 + b2

a −b : a

b − a2

b(a + b) − ab a(b −a)

= a2 + b2

a −b : a

b − a2

b(a + b) − b b −a

= a2 + b2

a −b : a(a + b)(b −a) −a2(b −a) −bb(a + b)

b(a + b)(b −a)

= (a2 + b2) b(a + b)(b −a) (a −b) [a(b2 −a2) −a2b + a3 −ab2 −b3]

= −(a2 + b2) b(a + b) ab2 −a3 −a2b + a3 −ab2 −b3 = −(a2 + b2) b(a + b)

−a2b −b3

= −(a2 + b2) b(a + b)

−b (a2 + b2) = a + b = √x + √y.

Q = x√x −y√y −x√y + y√x

2(√x −√y)

= a2a −b2b −a2b + b2a

2(a −b) = (a −b)(a2 + ab + b2) −ab(a −b)

2(a −b)

= (a −b)(a2 + ab + b2 −ab)

2(a −b) = a2 + b2

2 = x + y

2 .

Vậy với x > 0, y > 0 và x ̸= y thì P = √x + √y và Q = x + y

2 .

Ta có

4Q + 1 −2P = 4 · a2 + b2

2 + 1 −2(a + b) = 2a2 + 2b2 + 1 −2a −2b = (2a2 −2a) + (2b2 −2b) + 1

= 2 a −1

2

2 −1

2 + 2 b −1

2

2 −1

2 + 1 = 2 a −1

2

2 + 2 b −1

2

2 ≥0.

4Q + 1 −2P = 0 khi và chỉkhi a = b = 1

2, mâu thuẫn với a ̸= b.

Do đó, 4Q + 1 −2P > 0, tức 4Q + 1 > 2P. □

2