Đề thi thử vào 10 chuyên môn Toán (chung) năm 2024 lần 2 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

Toán điều kiện THPT Chuyên ĐHSPHN, lần 02, 2024 Nguyễn Văn Hải, Lại Cao Phong

LỜI GIẢI ĐỀTOÁN ĐIỀU KIỆN VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƯ PHẠM LẦN 2

Nguyễn Văn Hải1 – Lại Cao Phong2

1. Đềthi

Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức

A = ï 6x √x −1 + 7 (√x + 1)

x + 4 x√x −x

ò : 3x −1

x −√x

với x > 0, x ̸= 1, x ̸= 1

3.

1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức A.

Bài 2. (1,5 điểm) Một ô tô xuất phát lúc 6 giờtừHà Nội đến một bến xe ởHà Tĩnh. Ban đầu xe di chuyển với vận tốc 45km/h. Nhận thấy nếu cứđi với tốc độđó thì xe sẽđến muộn hơn so với quy định 1 giờnên sau 2 giờkểtừlúc xuất phát, lái xe tăng tốc và đi với vận tốc 60km/h trên suốt quãng đường còn lại. Do đó xe đến nơi sớm hơn quy định 30 phút. Tính quãng đường xe phải đi và thời điểm xe đến bến xe ởHà Tĩnh.

Bài 3. (2,5 điểm)

1) Trên mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua điểm M (1; −1) và cắt đường thẳng (d′) : y = 2x + 7 tại điểm có tung độbằng 5. Tính diện tích tam giác xác định bởi (d) và hai trục tọa độ. 2) Cho phương trình x2 −2 (m + 2) x + m2 −3 = 0 (với m là tham số). Tìm tất cảcác giá trịcủa m đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2 1 −2mx1 + m2 + 1 (x2 + 1) = 2 (x1 + x2)2 .

Bài 4. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) tiếp xúc trong tại A (R < R′). Đường kính AB của đường tròn (O) cắt (O′) tại điểm thứhai C. Qua C kẻtiếp tuyến CF với đường tròn (O), F là tiếp điểm.

1) Khi R = 2

3R′ hãy tính diện tích tam giác FAB theo R.

2) Gọi G là hình chiếu của F trên AB. Trên nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng AB không chứa F kẻđường thẳng qua C, cắt (O) tại D, E (E nằm giữa C, D). Chứng minh OGED là tứgiác nội tiếp. 3) Tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O′) tại H thuộc nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng AB chứa D. Kéo dài OF cắt AH tại I. Chứng minh CI vuông góc với đường nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB và DIE.

Bài 5. (1,0 điểm) Có hay không một đa thức bậc hai với hệsốnguyên P (x) = ax2 + bx + c nhận 3√

5 là nghiệm? Hãy giải thích câu trảlời của mình.

1Lớp 9, THCS Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh, Bắc Ninh 2Lớp 9, THCS TừSơn, TừSơn, Bắc Ninh

Lời giải Toán điều kiện THPT Chuyên ĐHSPHN, lần 02, 2024 1

Toán điều kiện THPT Chuyên ĐHSPHN, lần 02, 2024 Nguyễn Văn Hải, Lại Cao Phong

2. Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A = ï 6x √x −1 + 7 (√x + 1)

x + 4 x√x −x

ò : 3x −1

x −√x

với x > 0, x ̸= 1, x ̸= 1

3.

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức A.

Lời giải. 1) Với x > 0, x ̸= 1, x ̸= 1

3, ta có

A = ï 6x √x −1 + 7 (√x + 1)

x + 4 x√x −x

ò : 3x −1

x −√x

= ï 6x2

x√x −x + 7 (x −1)

x√x −x + 4 x√x −x

ò · x −√x 3x −1

= 6x2 + 7x −7 + 4

x√x −x · x −√x 3x −1 = 6x2 + 7x −3

x√x −x · x −√x 3x −1

= (3x −1) (2x + 3) (√x −1) √x

x (√x −1) (3x −1) = 2x + 3 √x .

Vậy A = 2x + 3 √x với x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 1

3. □

2) Ta có A = 2x + 3 √x = 2x √x + 3 √x = 2√x + 3 √x. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số

thực dương Å 2√x; 3 √x

ã ta có 2√x + 3 √x ⩾2

2√x · 3 √x = 2 √

2 · 3 = 2 √

6 hay A ⩾2 √

6. Vậy

min A = 2 √

6 và đẳng thức xảy ra khi 2√x = 3 √x ⇔2x = 3 ⇔x = 3

2, thỏa mãn. □

Bài 2 (1,5 điểm)

Một ô tô xuất phát lúc 6 giờtừHà Nội đến một bến xe ởHà Tĩnh. Ban đầu xe di chuyển với vận tốc 45km/h. Nhận thấy nếu cứđi với tốc độđó thì xe sẽđến muộn hơn so với quy định 1 giờnên sau 2 giờkểtừlúc xuất phát, lái xe tăng tốc và đi với vận tốc 60km/h trên suốt quãng đường còn lại. Do đó xe đến nơi sớm hơn quy định 30 phút. Tính quãng đường xe phải đi và thời điểm xe đến bến xe ởHà Tĩnh.

Lời giải. Gọi quãng đường xe phải đi là x (km) (x > 0), khi đó quãng đường mà xe đã đi được trong 2 giờđầu tiên là 45 · 2 = 90 (km), suy ra quãng đường còn lại là x −90 (km), vì lúc

này xe đi 60km/h nên thời gian xe đã đi là x −90

60 (giờ), vì xe đến sớm hơn quy định 30 phút

hay sớm hơn 1

2 giờnên thời gian quy định là x −90

60 + 2 + 1

2 = x + 60

60 (giờ). Mặt khác, nếu

di chuyển với vận tốc 45km/h thì thời gian cần đểxe đến Hà Tĩnh là x

45. Hơn nữa, khi đó …