Chuyên đề đa giác, đa giác đều

ĐA GIÁC - ĐA GIÁC ĐỀU

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đa giác

Đa giác A1A2...An là hình gồm n đoạn thẳng A1A2; A2A3;…AnA1 trong đó bất kì hai đoạn

thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng (Hình 1a;

1b).

2. Đa giác lồi

Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa

bất kì cạnh nào của đa giác (Hình 1c).

Lưu ý: Trong chương trình THCS, chúng ta sẽ chỉ xét các đa giác lồi. Vì vậy, nếu không

giải thích gì thêm, chúng ta viết "đa giác" để thay cho "đa giác lồi".

3. Các khái niệm khác

* Một đa giác có n đỉnh được gọi n- giác.

Ví dụ: tam giác, tứ giác, ngũ giác, thập giác,..., 100 - giác.

* Đường chéo của đa giác là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.

* Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau (Hình

2).

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1. Nhận biết đa giác

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đa giác trong phần Tóm tắt lý thuyết ở trên.

Bài 1: Cho lục giác ABCDEF . Kẻ các đường chéo AC , AD , AE . Kể tên các đa giác có trong hình vẽ

Bài 2: Cho tam giác đều ABC , các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I , K ,

M theo thứ tự là trung điểm của HA , HB , HC . Chứng minh rằng DKFIEM là lục giác đều.

Bài 3: Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh ?

Dạng 2: Tính chất về góc của đa giác.

Phương pháp giải: Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n-2).180°.

Bài 4:

a) Tính tổng các góc của đa giác 17 cạnh.

b) Đa giác bao nhiêu cạnh thì có tổng các góc bằng 2160?

Bài 5: Góc ngoài của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác. Ta coi ở mỗi đỉnh của

đa giác có một góc ngoài. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của đa giác bằng 360.

Dạng 3: Tính chất về đường chéo của đa giác.

Phương pháp giải: Xét số đường chéo xuất phát từ một đỉnh.

Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 42.

Bài 7: Chứng minh rằng trong ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.

Dạng 4: Đa giác đều.

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đa giác đều, công thức tính góc của đa giác đều:

Số đo mỗi góc của n - giác đều là

0 ( 2).180 . n

n 

Bài 8: Tính số đo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh), bát giác đều ( đa giác đều 8 cạnh).

Bài 9: Tính số cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 140.

Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M là trung điểm của EF , N là trung điểm của

BD . Chứng minh rằng AMN là tam giác đều.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1:

- 4 tam giác: ABC , ACD , ADE , AEF . - 3 tứ giác: ABCD , ACDE , ADEF . - 2 ngũ giác: ABCDE , ACDEF . - 1 lục giác: ABCDEF . Bài 2:

Xét HDC  vuông tại D, DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

DM HM  . Ta lại có 

1 30 C   nên 

1 60 H  . Do đó HDM  là tam giác đều.

Tương tự các tam giác HME , HEI , HIF , HFK , HKD là các tam giác đều.

Lục giác DKFIEM có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (bằng 120) nên là lục giác đều.

Bài 3:

Gọi số cạnh của đa giác là n . Khi ấy tổng số đường chéo của đa giác là: ( 3) 2 n n 