Chuyên đề khái niệm hai tam giác đồng dạng

KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Định nghĩa

- Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một và ba

cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

- Ta có

    '; '; ' ' ' '

' ' ' ' ' '

A A B B C C ABC A B C AB BC CA A B B C C A

          

”

 Tính chất

a) Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó (hoặc nói: Hai tam giác bằng nhau thì đồng

dạng với nhau).

b) Nếu ' ' ' ABC A B C   ” theo tỉ số k thì ' ' ' A B C ABC   ” theo tỉ số 1 . k

c) Nếu ' ' ' ABC A B C   ” và ' ' ' " " " A B C A B C   ” thì ABC A"B"C".   ∽

 Định lý

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo

thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

GT   // ,

ABC

DE BC D AB E AC



 

KL

ADE ABC   ”

II.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 1. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.Chứng minh hai tam giác đồng dạng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.

 Xác định tỉ số đồng dạng.

 Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

 Sử dụng định nghĩa hoặc định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng

dạng:

a) 2 3 k  ; b) 4 3 k  .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trên tia

đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC. Chứng minh ADE ABC.

Ví dụ 3. Từ điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC, kẻ một đường thằng song song với

AB tại F; BF cắt AC ở I. Tìm cặp tam giác đồng dạng.

Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC.

Chứng minh ba tam giác EDA, ABE, CEB đồng dạng với nhau.

Dạng 2: Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng.

Ví dụ 5. Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh tỉ số

chu vi hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng k.

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Kẻ một đường thẳng

song song với BC, cắt các cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE = 2cm, tính tỉ số đồng dạng

của AEF, ABC và độ dài các đoạn cạnh AF, EF.

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 8cm, AC = 7cm. Điểm D nằm trên cạnh BC

sao cho BD = 2cm. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần

lượt tại F và E.

a) Chứng minh BDE DCF

b) Tính chu vi tứ giác AEDF

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng.

Ví dụ 8. . Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm, AD = 5cm. Lấy F trên cạnh BC sao cho

CF = 3cm. Tia DF cắt tia AB tại G.

a) Chứng minh GBF DCF và GAD DCF

b) Tính độ dài đoạn thẳng AG

c) Chứng minh AG.CF = AD.AB

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ

một đường thẳng bất kì cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh: PN QN PM QM  .

x

y

b) a)

Hình 296

N

Q

A

C B

B C

A

M

P

HƯỚNG DẪN GIẢI

1.a) Giả sử đã vẽ được AMN  ∽ ABC  theo tỉ số 2 3 k  , thế thì 2 3 AM k AB

  .

Từ đó suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2 3 AM

AB

 .

Bước 2: Kẻ Mx BC  cắt AC ở N .

Ta có AMN  ∽ ABC  theo tỉ số 2 3 k  .

b) Giả sử đã vẽ được APQ  ∽ ABC  theo tỉ số 4 3 k  thế thì 4 3 AP k AB

  .

Từ đó suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên tia AB lấy điểm P sao cho 4 3 AP AB

 .

Bước 2: Kẻ Py BC  cắt tia AC ở Q . Ta có APQ  ∽ ABC  .

2.

Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE.

Từ đó chứng minh được

∆AMN ∆ADE (định lí)

∆ABC ∆AMN (do hai tam giác bằng nhau)

⇒ ∆ABC ∆ADE

3.

Dùng định nghĩa để chứng minh:

∆ADE ∆CFE; ∆EFI ∆CBI; ∆FIC ∆BIA