Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì

hai tam giác đó đồng dạng.

G

T    ABC, A'B'C'

A A',B B'

 

 

K

L

ABC A'B'C '   ∽

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra

hai tam giác đồng dạng.

1. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song

với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:

a) ABD ECD;   ∽ b) ACE  cân tại C.

2. Hình thang ABCD   AB CD  , có   DAB CBD  .Chứng minh ABD BDC.   ∽

3. Cho ABC  có AM là phân giác của   BAC M BC  . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng

bờ BC không chứa A sao cho   1 BCx BAC. 2  Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng

minh:

a) BM.MC MN.MA;  b) ABM ANC;   ∽

c) Tam giác BCN cân.

4. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và

các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh:

a) GCF GDA;   ∽ b) GCF ABF;   ∽

c) GDA ABF   ∽ và tích số BF.DG luôn không đổi khi d quay quanh A.

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng

minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai

tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương

ứng tỉ lệ.

5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) 2 AB BH.BC;  b) 2 AH BH.HC. 

C' B'

A'

C B

A

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

6. Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC

và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh:

a) QA.QC QD.QE;  b) AB.AE AQ.AC. 

7. Cho tam giác ABC   AB AC  , đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự

là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh:

a) BM AB ; CN AC  b) AM.DN AN.DM. 

8. Cho tam giác ABC   AB AC  , đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA

lấy điểm I sao cho   ACI BDA.  Chứng minh:

a) ABD AIC;   ∽ b) ABD CID;   ∽

c) 2 AD AB.AC DB.DC.  

HƯỚNG DẪN

PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: a) ; ABD ECD   ” b) ACE  cân tại C.

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD, 4 AB cm  , DB = 6cm và   A CBD  . Tính

độ dài CD.

Bài 3: Cho ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

a) Chứng minh: ABK ∽CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.

b) Chứng minh: ABK CAK   ”

c) Chứng minh: CAK CBA   ”

Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao

cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt

CO, OA lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh: FCM OBM   ” và PAE PBO   ”

b) Chứng minh: . . 1 MB NC PA MC NA PB  .

Bài 5: Cho ABC  có 3 góc nhọn, các đường cao , , AD BE CF cắt nhau ở H . Chứng minh:

a) . . . AD BC BE AC CF AB  

b) . . AD HD DB DC  và suy ra các hệ thức tương tự

c) ABH EDH   ” và suy ra các kết quả tương tự