Chuyên đề các bài toán về phân thức đại số bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 1

CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

MỤC LỤC

Chủ đề 1. CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN .................................................. 2

Chủ đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ................................................................... 3

Dạng 1. Tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước của biến. ..................................... 3

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức số bằng cách biến đổi từ công thức tổng quát. ......................... 17

Chủ đề 3. RÚT GỌN BIỂU THỨC ................................................................................................ 19

Dạng 1. Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân thức ....................... 19

Dạng 2. Rút gọn biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước của biến. ......................................... 22

Dạng 3. Rút gọn các biểu thức có tính quy luật ........................................................................ 26

Chủ đề 4. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ .................................... 29

Dạng 1. Biến đổi vế này thành vế kia ........................................................................................ 29

Dạng 2. Biến đổi cả hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba ........................................................... 31

Dạng 3. Từ điều kiện tạo ra thành phần một vế ........................................................................ 33

Dạng 4. Phương pháp biến đổi tương đương ............................................................................ 40

Dạng 5. Phương pháp đổi biến số ............................................................................................. 41

Dạng 6. Phân tích đi lên từ kết luận .......................................................................................... 43

Dạng 7. Phương pháp tách hạng tử........................................................................................... 44

Chủ đề 5. BÀI TOÁN TỔNG HỢP ................................................................................................ 45

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 2

Chủ đề 1. CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN

 Phương pháp: Để chứng minh phân số đã cho tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ƯC là 1  - Một số tính chất cần sử dụng khi chứng minh: + Nếu nếu d = ƯCLN(a; b) thì a d và b d , khi đó ta có:  a b d  

+ Nếu a d thì k.a  d và n a d   Bài tập áp dụng

Bài 1. Chứng minh với mọi số nguyên n thì phân số

3

4 2 n 2n n 3n 1    là phân số tối giản.

HD:

Để chứng minh phân số đã cho tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ƯC là 1  Gọi d là ước chung của 3 n 2n  và 4 2 n 3n 1  . Ta có:   3 3 4 2 n 2n d n n 2n d n 2n d         (1)

   

2 4 2 4 2 2 2 4 2 n 3n 1 n 2n n 1 d n 1 n 2n 1 d             (2)

Từ (1) và (2) suy ra:    4 2 4 2 n 2n 1 n 2n d 1 d d 1         

Vậy

3

4 2 n 2n n 3n 1   là phân số tối giản

Bài 2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:

a) n n n   

3

5

1

1 là phân số không tối giản. b) 6n 1 8n 1   là phân số tối giản.

HD:

a) Ta có         

     

2 2 2

5 2 2 2 3 2 3 2 2 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1

n n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1

                      

vì với số nguyên dương n thì 2 n n 1 1   nên

3

5

n 1 n n 1    là phân số không tối giản.

b) Đặt ƯCLN  6n 1; 8n 1 d    với * d N 

  

6n 1 d 24n 4 d

8n 1 d 24n 3 d

24n 4 24n 3 d 1 d d 1.

   

  

      

 

 

 

ƯCLN  6n 1; 8n 1 1    Phân số đã cho là phân số tối giản.

Bài 3. Cho   

2 4 5 n P n với n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1

đến 2020 sao cho giá trị của P chưa tối giản. HD:

Ta có:

2 n 4 29 P n 5 n 5 n 5        vớin 

Để phân số P chưa tối giản thì ƯCLN    29; n 5 d d 1    Khi đó n 5 d   …