Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 2 0 A  Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 x y z xy yz zx + +  + + HD: Xét hiệu ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z xy yz zx x y y z z x + + − − −  = − + − + − 

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx + +  + − HD: Xét hiệu ta có: ( )

2 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z xy yz zx x y z + + − − +  = − + 

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì ( ) 2 2 2 3 2 x y z x y z + + +  + +

HD: Xét hiệu ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0 x y z − + − + − 

Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :

2 2 2

2 2 a b a b + +      

HD : Xét hiệu ta có :

2 2 2 2 2 0 2 4 a b a ab b + + + −  <=> ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 a b a ab b + − − + 

( )

2 2 2 2 0 0 a ab b a b = + +  = + 

Dấu bằng khi a=b

Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :

2 2 2 2

3 3 a b c a b c + + + +      

HD: Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 a b c a b c ab bc ac + + + + + + + 

( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 0 a b c a b c ab bc ac = + + − + + + + + 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ac = + + − − −  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a b b c c a = − + − + −  , Dấu bằng khi a=b=c

Bài 6: CMR : ( )

2 2 2 2

3 a b c a b c + + + + 

HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a b c a b c ab bc ca + +  + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ac = + + − − −  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a b b c c a = − + − + −  , Dấu bằng khi a=b=c

2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

Bài 7: CMR : ( )

2 2 2 2 2 a b a b ab + +  

HD:

Ta chứng minh: ( )

2 2 2

2 a b a b + + 

2 2 2 2 2 2 2 a b a ab b = +  + + ( )

2 2 2 2 0 0 a b ab a b = + −  = − 

Dấu bằng khi a=b

Ta chứng minh ( )

2

2 2 a b ab + 

( )

2 2 2 2 4 0 a ab b ab a b = + +  = − 

Dấu bằng khi a=b

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:

2 2

4 b a ab + 

HD: Ta có: ( )

2 2 2 4 4 2 0 a b ab a b + − = − 

Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : 2 2 1 a b ab a b + +  + + HD: Ta có: 2 2 1 0 a b ab a b + + − − −  2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b ab a b = + + − − −  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 a ab b a a b b = − + + − + + − + 

( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 a b a b = − + − + − 

Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e + + + +  + + +

HD: Ta có: 2 2 2 2 2 0 a b c d e ab ac ad ae + + + + − − − −  2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a b c d e ab ac ad ae = + + + + − − − −  =( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a ab b a ac c a ad d a ae e − + + − + + − + + − + 

=( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b a c a d a e − + − + − + − 

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e

Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 1 1 1 1 9 a b    + +       

HD:

ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b a b b a + +         = + + = + + = + + +                

5 2 5 2.2 9 a b b a   = + + + =    

Dấu bằng khi 2 2 1 2 a b a b a b b a = = + = = =