Chuyên đề chia hết của đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

1 GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC

DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BEZOUT TÌM SỐ DƯ

Định lý Be zout: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”

Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, ( )

3 2 3 2 9 2 f x x x x = − − + có chia hết cho x-2 không, có

chia hết cho x+2 không? HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( )

3 2 3 2 9 2 f x x x x = − − + khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá

trị là: ( )

3 2 2 2.2 2.2 9.2 2 0 f = − − + = . Vậy ( ) ( ) 2 f x x −

Tương tự: Số dư của ( )

3 2 3 2 9 2 f x x x x = − − + khi chia cho x+2 có giá trị là:

( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2. 2 2. 2 9. 2 2 4 f − = − − − − − + = −

Vậy ( ) ( ) 2 f x x  +

Bài 2: Tìm số a để 3 2 2 3 2 x x x a x − + + + HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( )

3 2 2 3 f x x x x a = − + + khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có

giá trị là: ( ) ( ) 2 2. 8 3.4 2 22 f a a − = − − −+ = −

Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: 2 4 6 3 x x a x − + − HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( )

2 4 6 f x x x a = − + khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị

là: ( ) 3 4.9 6.3 18 f a a = − + = +

Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18 Bài 4: Tìm hế số a để: 2 2 3 x x a x + + + HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( )

2 2 f x x x a = + + khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị

là: ( ) 3 2.9 3 15 f a a − = −+ = +

Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15 Bài 5: Tìm hế số a để: 2 10 7 2 3 x x a x − + − HD:

Hạ phép chia ta có: ( )( ) ( ) 2 10 7 2 3 5 4 12 x x a x x a − + = − + + +

Để 2 10 7 2 3 12 0 12 x x a x a a − + − = + = = = − Bài 6: Tìm hế số a để: 2 2 1: 3 x ax x + + − dư 4 HD : Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của ( )

2 2 1 f x x ax = + + , khi chia cho x-3 là ( ) 3 2.9 3 1 3 19 f a a = + + = +

Để có số dư là 4 thì 3 19 4 3 15 5 a a a + = = = − = = − Bài 7: Tìm hế số a để: 5 4 5 9 1 ax x x + − − HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của ( )

5 4 5 9 f x ax x = + −, khi chia cho x - 1 là ( )1 5 9 4 f a a = + −= −

Để có phép chia hết thì 4 0 4 a a − = = =

2 GV: Ngô Thế Hoàng _THCS Hợp Đức

Bài 8: Tìm hế số a để: 2 8 26 2 3 x x a x − + − HD :

Hạ phép chia ta có: ( )( ) 2 8 26 2 3 4 7 21 x x a x x a − + = − − + −

Để 2 8 26 2 3 21 0 21 x x a x a a − + − = − = = = Bài 9: Tìm hế số a để: 4 3 2 2 6 5 x x x x a x x − + − + − + HD :

Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:

( )( ) 4 3 2 2 2 6 5 1 5 x x x x a x x x a − + − + = − + + + −

Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5 Bài 10: Tìm hế số a, b để: 3 2 2 x ax b x x + + + − HD :

Hạ phép chia ta có: ( )( ) ( ) 3 2 2 1 3 2 x ax b x x x a x b + + = + − − + + + −

Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2 Bài 11: Tìm hế số a để: 3 2 2 4 4 4 x ax x x + − + + HD :

Hạ phép chia ta có : ( )( ) ( ) 3 2 2 4 4 4 4 12 4 12 4 x ax x x x a a x a + − = + + + − + − + −

Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: 4 2 4 x ax b x + + − HD :

Để 4 2 4 x ax b x + + − thì

4

4

2

2

x ax b x

x ax b x

 + + −  + + + 

Áp dụng định Bơ- Zu ta có: ( ) ( ) 4 2 16 2 0 f x x ax b f a b = + + = = + + =

Và: ( ) 2 16 2 0 f a b − = − + =

Giải hệ ta được a=0 và b=-16 Bài 13: Tìm hế số a để: 4 3 2 1 1 x ax bx x + + − − HD :

Để 4 3 2 1 1 x ax bx x + + − − thì

4 3

4 3

1 1

1 1

x ax bx x

x ax bx x

 + + − −  + + − + 

Áp dụng định Bơ- Zu ta có: ( ) ( ) 4 3 1 1 1 1 0 f x x ax bx f a b = + + −= = + + −=

Và: ( )1 1 1 0 f a b − = −+ −=

Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a Bài 14: Tìm hế số a để: 3 2 2 2 x ax b x x + + + − Hạ phép HD :

chia ta có : ( )( ) ( ) 3 2 2 2 2 4 x ax b x x x a b x b + + = + − − + + + −

Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4 Bài 15: Tìm hế số a để: 4 2 2 1 x ax b x x + + − + HD : Hạ phép chia ta có : ( )( ) ( ) 4 2 2 2 1 1 x ax b x x x x a a x a b + + = − + + + + − + −

Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1