Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4 Phương pháp: Dùng máy tính nhẩm nghiệm hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1 Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = - 1 1 số HĐT đáng nhớ:

1, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 a b a b ab a b ab + = + + = − +

2, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 a b a b ab a b ab − = + − = + −

3, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b ab a b ab + = + − = − +

4, ( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 a b a b a ab b a b ab a b + = + − + = + − +

5, ( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 a b a b a ab b a b ab a b − = − + + = − + −

6, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b a b a b + = + + −

7, ( ) ( ) 2 2 4 a b a b ab + − − =

8, ( )( ) ( )

2 4 4 2 a b a b a b a b ab   + = + − + −  

9, ( ) ( )

2 2 2 4 4 2 2 a b a b ab ab   + = + − −  

10, ( )( ) 3 3 3 2 2 2 3 a b c abc a b c a b c ab bc ca + + − = + + + + − − −

11, ( )( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 a a b b a ab b a ab b + + = + + − +

12, ( )( ) 4 2 2 2 1 1 1 a a a a a a + + = + + − +

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 4 29 24 a a a + − + HD:

Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8), Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 4 29 24 5 5 24 24 a a a a a a a a + − + = − + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 5 1 24 1 1 5 24 a a a a a a a a − + − − − = − + − =( )( )( ) 1 3 8 a a a − − +

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3 2 6 7 6 1 x x x x + + − + HD: Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm như sau:

4 3 2 2 2 2 2 2 2 6 1 1 1 6 7 6 1 6 7 6 7 x x x x x x x x x x x x x x −       + + − + = + + + + = + + − +            

Đặt 2 2 2 1 1 2 x t x t x x − = = + = +

Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 6 7 6 9 3 x t t x t t x t + + + = + + = +

Thay t trở lại ta được :

2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 ( 3 1) x x x x x x x x x   −+   − + = = + −        

Vậy ( )

2 4 3 2 2 6 7 6 1 3 1 x x x x x x + + − + = + −

GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 6 11 6 x x x + + + HD : Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : ( )( )( ) 3 2 6 11 6 1 2 3 x x x x x x + + + = + + +

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( )( )( )( ) 1 3 5 7 15 x x x x + + + + +

HD :

Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau : ( )( )( )( ) ( )( ) 2 2 1 7 3 5 15 8 7 8 15 15 x x x x x x x x + + + + + = + + + + +

Đặt ( )( ) 2 2 2 8 7 15 15 22 105 15 22 120 x x t t t t t t t + = = + + + = + + + = + +

( )( ) ( )( ) 2 2 10 12 8 10 8 12 t t x x x x = + + = + + + + =( )( )( ) 2 8 10 6 2 x x x x + + + +

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 2 2 1 x x + + HD : Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :

( )

2 4 2 2 2 1 1 x x x + + = +

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 3 7 17 5 x x x − + − HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là 1 3 x = , nên có nhân tử là : (3x - 1)

nên ta có : 3 2 3 2 2 3 7 17 5 3 6 2 15 5 x x x x x x x x − + − = − − + + − ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 5 x x x x x x x x = − − − + − = − − +

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 2 5 8 3 x x x − + − HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là 1 2 x = , nên có nhân tử là : (2x - 1)

Nên ta có : 3 2 3 2 2 2 5 8 3 2 4 2 6 3 x x x x x x x x − + −= − − + + − ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 2 3 x x x x x x x x = − − − + − = − − +

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 3 14 4 3 x x x − + + HD :

Bấm máy tính cho ta nghiệm là : 1 3 x − = nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)

Ta có : 3 2 3 2 2 3 14 4 3 3 15 5 9 3 x x x x x x x x − + + = + − − + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 1 5 3 1 3 3 1 3 1 5 3 x x x x x x x x + − + + + = + − +

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 2 5 8 4 x x x + + + HD : bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2 Như vậy ta có : ( )( )

2 3 2 5 8 4 1 2 x x x x x …