Chuyên đề tứ giác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: Cho HBH ABCD có AB và BD cắt nhau tại O, Gọi d là đường thẳng đi qua A và không cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ là khoảng cách từ B, C, D đến đường thẳng d, ( B’, C’, D’ nằm trên d) CMR: BB’ + DD’ = CC’ HD: Vẽ OO’ ⊥d (O’ d) Khi đó ta có: BB’D’D là hình thang có OO’ là đường trung bình nên: 2.OO’= BB’ + DD’ (1) Tương tự ACC’ có OO’ là đường trung bình nên: 2.OO’ = CC’ (2) Từ (1) và (2) => BB’ + DD’ = CC’ Bài 2: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên đường thẳng d

CMR: ' ' AA' 2 BB CC + =

HD: Gọi H, K lần lượt là giao của d với AB và AC Lấy N là hình chiếu của M trên đường thẳng d => AA’I = MNI ( cạnh huyền- góc nhọn) => AA’ = MN Hình thang BB’C’C có MN là đường trung bình nên:

' ' ' 2 BB CC MN AA + = =

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BH, CK, Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng HK, CMR: DK = EH. HD: Gọi M, M’ lầ lượt là trung điểm của BC và DE, Xét BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên:

1 2 HM BC = (1)

BKC vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên:

1 2 KM BC = (2)

Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’

d

o

A B

D C

D'

O'

C'

B'

d

I

A

B C M

B' M'

A'

C'

A

B C M

H K D

M'

E

2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

Bài 4: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d,

CMR: ' ' ' ' 3 AA BB CC GG + + =

HD: Gọi M là trung điểm của AC, và D đối xứng với G qua M, M’ là hình chiếu của M trên d, Khi đó ta có :

2 BG GM DM = =

=> G là trung điểm của BD => GG’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D => MM’ là đường trung bình của hình thang GG’D’D

Nên: ' ' ' 2 BB DD GG + = (1)

' CC' ' ' ' ; ' 2 2 AA DD GG MM MM + + = =

=> DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM Bài 5: Cho HBH ABCD và đường thẳng d nằm bên ngoài HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D trên d, CMR: AA’+ CC’ = BB’ + DD’ HD: Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD O’ là hình chiếu của O xuống d Khi đó ta có: OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C nên: 2OO’ = AA’ + CC’ (1) Tương tự OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B nên: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2) Từ (1) và (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ( G nằm bên trong tam giác), Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của A, B, C trên (d), Khi đó AA’, BB’, CC’ có mỗi quan hệ gì? HD: Gọi I trên AG sao cho AI = IG Kẻ MM’ ⊥(d) Khi đó ta có:

GII’ = GMM’ (cạnh huyền = góc nhọn)

=> II’ = MM’ mà II’ = 1

2 AA’ => AA’ = 2. MM’

Hình thang BB’C’C có MM’ là đường trung bình nên ta có: 2. MM’ = BB’ + CC’ Nên ta có : AA’ = BB’ + CC’

G

A

B C

D M

G' A' B' M' C' D'

d

O

A B

D C

A' D' O' B' C'

A

B C M

G B' A'

M'

C' I

I'