Chuyên đề thực hiện dãy tính và tính nhanh

CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH

A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Với bài toán thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong

việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ các phân số, tối giản phân số,

rồi tính tổng theo quy luật…thứ tự thực hiện phép tính

KIẾN THỨC BỔ TRỢ:

1/ Công thức tính lũy thừa của số tự nhiên:

am.an = am+n (a.b)m = am.bm (am)n = am.n

( )

m m

n a a b 0 b b   =     

hay (a : b)m = am : bm

2/ Một số công thức đặt thừa số chung

a.b + a.c + a.d + …..+ a. k = a.(b + c + d + … + k)

1 2 n 1 2 n

a a a 1 1 1 ... a. ... x x x x x x   + + + = + + +    

4/ Một số công thức tính tổng.

a) Tổng các số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + …. + an (1)

Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều)

Số số hạng trong tổng là n = ( ) n 1 a a :d 1 − +

a1 là số hạng thứ nhất

an là số hạng thứ n

Tổng S = n.(a1 + an) : 2

Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d

b) Tổng có dạng: S = 1 + a + a2 + a3 + ….+ an (2)

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được.

a.S = a + a2 + a3 + a4 + ….+ an + 1 (3)

B2: Lấy (3) trừ (2) vế theo vế được:

a.S – S = an + 1 – 1 =>

n 1 a 1 S a 1

+ − = −

c) Tổng có dạng: S = 1 + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n (4)

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.

a2.S = a2 + a4 + a6 + a8 + ….+ a2n + 2 (5)

B2: Lấy (5) trừ (4) vế theo vế được:

a2.S – S = a2n + 2 – 1 =>

2n 2

2 a 1 S a 1

+ − = −

d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + 1 (6)

B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a2 ta được.

a2.S = a3 + a5 + a7 + a9 + ….+ a2n + 3 (7)

B2: Lấy (7) trừ (6) vế theo vế được:

a2.S – S = a2n + 3 – a =>

2n 2

2 a a S a 1

+ − = −

d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n (8)

Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1

=> Nhân vào hai vế của đẳng thức (8) với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.

3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)]

+ (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]

= (n – 1).n.(n + 1)

 ( ) ( ) n – 1 .n. n 1 S 3

+ =

e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (9)

Áp dụng công thức tổng (8) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ n(n+1)

S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +…+ n(n + 1)

= (12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + (1 + 2 + 3 + …. + n)

= P + (1 + 2 + 3 + …. + n)

 P = S - (1 + 2 + 3 + …. + n)

Trong đó theo (8) thì S = ( )( ) n. n + 1 n 2 3

+

Theo (1) thì (1 + 2 + 3 + …. + n) = n(n 1) 2

+

 P = ( ) n(n 1) 2n 1

6 + +

f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 (10) với k chẵn và k ∈ N

Áp dụng tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k

= 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (k - 2)(k - 1) + (k – 1). k

= 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + …+ (k – 1). [(k– 2) + k]

= 1.2 + 3. 6 + 5.10 +…+ (k - 1).(2k – 2)

= 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +…+ (k – 1).(k – 1).2

= 2.[12 + 32 + 52 + ….+ (k – 1)2]

= 2.S

 S = A

2 mà theo (8) thì tổng ( ) ( ) k – 1 .k. k 1 A 3

+ = => S = ( ) ( ) k – 1 .k. k 1 6

+

g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1. an (11)

* Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = 2

S = a1.(a1 + 2) + a2. (a2 + 2) + a3. (a3 + 2) + a4. (a4 + 2) + ….+ an-1. (an - 1 + 2)

= ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 a a a ... a 2 a a a ... a − − + + + + + + + + +

= S1 + k. S2

Trong đó tổng S1 = 2 2 2 2 1 2 3 n 1 a a a ... a − + + + +

S2 = 1 2 3 n 1 a a a ... a − + + + +

* Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > 2

Nhân cả hai vế với 3k , rồi tách 3k ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.

h) Tổng có dạng: S =

1 2 2 3 3 4 n 1 n

1 1 1 1 ... a a a a a a a a − + + + + (12)

* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = 1 thì:

S =

1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... a a a a a a a a a a − − + − + − + + − = −

* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > 1 thì:

S =

1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... …