Chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật

1

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT.

Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều 1 2 3 ... n S a a a a

Cần tính tổng: 1 2 3 ... n S a a a a . (1)

Với 2 1 3 2 1 ... n n a a a a a a d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d )

Số số hạng của tổng là ( ) 1 : 1 n n a a d = − + với 1a là số hạng thứ nhất

na là số hạng thứ n.

Tổng ( ) 1 :2 n S n a a = + .

Số hạng thứ n của dãy là ( ) 1 1 na a n d = + − .

Ví dụ 1: Tính tổng 1 2 3 4 ... 2019 2020 S .

Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với 1 d .

Lời giải

Số số hạng của dãy là 2020 1 :1 1 2020.

Tổng 1 2020 .2020:2 2041210 S .

Bài toán tổng quát: Tính tổng 1 2 3 ... S n.

Số số hạng của dãy là 1 :1 1 n n .

Tổng 1 :2 S n n .

Ví dụ 2: Tính tổng 1 3 5 ... 2019 2021 S .

Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với 2 d .

Lời giải

Số số hạng của dãy là 2021 1 :2 1 1011.

Tổng 1 2021 .1011:2 1022121 S .

Ví dụ 3: Tính tổng 5 10 15 ... 2015 2020 S .

Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với 5 d .

Lời giải

Số số hạng của dãy là 2020 5 :5 1 404 .

Tổng 5 2020 .404:2 409050 S .

2

Ví dụ 4: Tính tổng 3 5 4039 1 2 ... 2020 2 2 5 S .

Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với 1 2 d .

Lời giải

Số số hạng của dãy là 1 2020 1 : 1 4039 2 .

Tổng 1 2020 .4039:2 4081409,5 S .

Ví dụ 5: Tính tổng 10,11 11,12 12,13 98,99 100 S .

Phân tích: Các số hạng cách đều nhau với 1,01 d .

Lời giải

Số số hạng của dãy là 100 10,1 :1,01 1 90.

Tổng 10,11 100 .90:2 4954,95 S .

Dạng 2: Tổng có dạng

2 3 1 ... n S a a a a = + + + + + (1)

Phương pháp

TH 1: Nếu 1 a = thì 1 S n = + .

TH 2: Nếu 1 a  để tính tổng S ta làm như sau

Bước 1: Nhân hai vế của ( )1 với số a ta được

( ) 2 3 4 ... 2 n aS a a a a a = + + + + +

Bước 2: Lấy ( ) 2 trừ ( )1 vế theo vế ta được

1 1 1 1 1

n n a aS S a S a

+ + − − = − = −

Ví dụ 1: Tính tổng 2 3 4 20 2 2 2 2 ... 2 S = + + + + + .

Lời giải

Ta có 2 3 4 5 21 2 2 2 2 2 ... 2 S = + + + + +

Vậy 21 2 2 2 S S S − = = − .

Ví dụ 2: Tính tổng 2 3 4 100 1 2 2 2 2 ... 2 S = + + + + + + .

Lời giải

Ta có 2 3 4 5 101 2 2 2 2 2 2 ... 2 S = + + + + + +

Vậy 101 2 2 1 S S S − = = −.

Ví dụ 3: Tính tổng 2 3 4 99 6 6 6 6 ... 6 S = + + + + + .

3

Lời giải

Ta có 2 3 4 5 100 6 6 6 6 6 ... 6 S = + + + + .

Vậy 100 6 5 6 6 S S S − = = −.

Suy ra

100 6 6 5 S − = .

Dạng 3: Tính tổng có dạng 2 4 6 2 1 ....... n A a a a a = + + + + + (1)

Phương pháp:

Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với 2 a ta được:

2 2 4 6 8 2 2 . ....... n a A a a a a a + = + + + + + (2)

Bước 2: Lấy ( ) ( ) 2 1 − theo vế ta được:

( ) ( )

( )

2 2 4 6 8 2 2 2 4 6 2

2 2 2 2 2

2

. ....... 1 .......

1 1 1 1

n n

n n

a A A a a a a a a a a a

a A a a A a

+

+ +

− = + + + + + − + + + + +

−  − = − = −

Ví dụ 1: Tính tổng sau: 2 4 6 98 100 1 2 2 2 .. 2 2 A = + + + + + + (1)

Lời giải

Nhân vào hai vế với 2 2 ta được:

2 2 4 6 8 100 102 2 . 2 2 2 2 .. 2 2 A = + + + + + + (2)

Lấy ( ) ( ) 2 1 − theo vế :

( ) ( ) 2 2 4 6 8 100 102 2 4 6 98 100

102 102

2 . 2 2 2 2 .. 2 2 1 2 2 2 .. 2 2

2 1 3 2 1 3

A A

A A

− = + + + + + + − + + + + + +

− = − =

Ví dụ 2: Tính tổng sau: 2018 1 1 1 1 1 .... 9 9 81 729 3 B = + + + + + (1)

Lời giải

Đặt 2018 1 1 1 1 1 .... 9 81 729 3 9 C B C = + + + +  = +

Ta có: 2 4 6 2018 1 1 1 1 .... 3 2 3 3 C = + + + +

2 4 6 8 2020 1 1 1 1 1 . .... 3 3 2 3 3 C  = + + + +

2 2 4 6 2018 4 6 8 2020

2018

2 2020 2 2020 2018

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . .... .... 3 3 2 3 3 3 2 3 3

8 1 1 9 1 1 3 1 . . 9 3 3 8 3 3 8.3

C C

C C

     − = + + + + − + + + +         −    = −  = − =    