Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp huyện năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Ba Vì - Hà Nội

Trang 1/2

PHÒNG GDĐT

HUYỆN BA VÌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP

HUYỆN Năm học: 2023 - 2024

Môn: Toán 9 Ngày thi: 28/9/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (5 điểm)

1) Cho 4 3 3 (1 ) :( ) 1 3 4 7 12 x x x x M x x x x x + + + = − + + + − − − + với 0; 16; 9 x x x ≥ ≠ ≠

a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2) Tính giá trị của biểu thức P, biết

2023 2024 4 5 2022 P x x = + + với 10 2 3. 3 5 4 2 3 3 x = − + + − − Bài 2: (3 điểm)

1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng:

4 2 2 4 Q a b a b ab ab = − + − chia hết cho 6

2) Tìm x, y nguyên thoả mãn:

2 ( 2)( 4)( 6) 15 y x x x x = + + + +

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

1) 2 2 6 1 2 1 2021 4040 2022 4047 x x x x + + + − + > +

2) 3 2 4 3 2 4 2 x x x x −− − + −+ − = Bài 4: (6 điểm)

1) Cho tam giác ABC cân tại A, có 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 𝛼𝛼. Gọi I là trung điểm của BC. Trên cạnh AB, AC lấy M, N sao cho 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ෣= 𝛼𝛼. Chứng minh rằng: a) Tam giác BMI đồng dạng với tam giác CIN. Từ đó suy ra BM.CN không đổi

b) NI là tia phân giác của 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ෣. 2) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M trên AC, AB

a) Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để với mọi vị trí của M nằm giữa B và C thì các hình chữ nhật ADME có chu vi bằng nhau. Bài 5: (2 điểm) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: 3 x y z + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, với

2 2 2 ( 1) (y 1) (z 1) 2 2 2 x A y z x z x y + + + = + + + + + + + +

Trang 2/2

--------------Hết-------------- Họ tên thí sinh…………………………………...……SBD……………….

Chữ kí………….............................................................................................

(Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

PHÒNG GDĐT BA VÌ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2023- 2024

Môn: Toán 9 Ngày thi: 28/9/2023 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài 1

1) a)

với 0; 16; 9 x x x ≥ ≠ ≠

4 3 3 (1 ) :( ) 1 3 4 7 12 x x x x M x x x x x + + + = − + + + − − − +

1 4 3 3 : 1 3 4 ( 3)( 4) x x x M x x x x x

  + + + = − +   + − − − −  

1 ( 4)( 4) ( 3)( 3) ( 3) : 1 ( 3)( 4) x x x x x x x x

  + − − − + + + =   + − −  

1 16 (x 9) 3 : 1 ( 3)( 4) x x x x x − − − + + = + − −

3 1 x x − = +

1,0

1,5

b) 3 1 4 4 1 1 1 1 1 x x M x x x x − + = = − = − + + + +

Vì 4 0 1 1 4 3 1 x x M x ≥ ⇒ + ≥⇒ ≤ ⇒ ≥− +

Dấu ‘‘=” xảy ra khi và chỉ khi 0 x =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M= -3 khi 0 x =

0,5

0,5

2) 10 2 3. 3 5 4 2 3 3 x = − + + − −

10 2 3. 4 2 3 3 = − + − 10 2 3.( 3 1) 3 = − + −

2 ( 3 1) 3 = − − 1 = −

Với 1 x = −giá trị của biểu thức P bằng:

2023 2024 4.( 1) 5.( 1) 2022 4 5 2022 2023 P = − + − + = −+ + =

1,0

0,5

Bài 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 3/2

1) 4 2 2 4 Q a b a b ab ab = − + −

4 2 4 2

2 2 2 2 ( ) ( )

(a 1) (b 1)

a b a b ab ab

a b ab

= − − −

= − − −

(a 1)(a 1) (b 1)(b 1) aba abb = − + − − +

Ta có: ;(a 1);(a 1) a − + là 3 số nguyên liên tiếp.

(a 1)(a 1) 2; (a 1)(a 1) 3 a a ⇒ − + − +  mà (2,3) =1

(a 1)(a 1) 6 a ⇒ − + 

Tương tự: (b 1)(b 1) 6 6 b Q − + ⇒  

0,5

1,0

2) 2 ( 2)( 4)( 6) 15 y x x x x = + + + +

2 2 ( 6 )( 6 8) 15 x x x x = + + + +

Đặt 2 6 4 x x t + + = khi đó

2 ( 4)( 4) 15 y t t = − + +

2 2 1 ( )( ) 1 y t y t y t = −⇔ − + = −

Ta có bảng sau:

y t − 1 − 1

y t + 1 1 −

y 0 0

t 1 1 −

+ 2 2 6 4 1 ( 3) 6 x x x + + = ⇔ + = không có x Z ∈ thoả mãn

+ 2 6 4 1 x x + + = −

2 6 5 0 ( 1)( 5) 0

1 0 1 5 0 5

x x x x

x x x x

⇔ + + = ⇔ + + =

+ = = −   ⇔ ⇔   + = = −  

Vậy { } ( ; ) ( 1;0);( 5;0) x y ∈ − −

0,5

1,0

Bài 3

1) 2 2 6 1 2 1 2021 4040 2022 4047 x x x x + + + − + > +

2 2 6 1 2 1 1 1 1 1 2021 4040 2022 4047 x x x x + + + − + + + > + + +