Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Nam Đàn - Nghệ An

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM ĐÀN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (5,0 điểm):

1. Tính A =ඥ7 + 4√3 −ඥ4 −2√3

2. Cho biểu thức A = 2+5√𝑥𝑥

4−𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥

√𝑥𝑥+2 −√𝑥𝑥+1

2−√𝑥𝑥 (Với 𝑥𝑥≥0; 𝑥𝑥≠4)

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên. Câu 2: (4,0 điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2𝑥𝑥2 −𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥−8𝑥𝑥−5𝑦𝑦+ 3 = 0

b) Cho 2 số tự nhiên y >𝑥𝑥 thỏa mãn (2𝑦𝑦−1)2 = (2𝑦𝑦−𝑥𝑥)(6𝑦𝑦+ 𝑥𝑥) Chứng minh 2y – x là số chính phương. c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn 𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: M = 𝑦𝑦2+𝑥𝑥+1

1+𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2−𝑦𝑦+1

1+𝑧𝑧2 + 𝑥𝑥2+𝑧𝑧+1

1+𝑥𝑥2

Câu 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) √1 −4𝑥𝑥+ 4𝑥𝑥2 = 5 −𝑥𝑥

b) 9

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥

√2𝑥𝑥2+9 = 1

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh AM.AB = AN.AC b) Biết AH = h;  = ∝. Tính độ dài MN theo h và ∝. c) Trong trường hợp  = 900, chứng minh 𝐻𝐻𝐻𝐻.𝐻𝐻𝐻𝐻

𝐻𝐻𝐻𝐻.𝐻𝐻𝐻𝐻=

𝑀𝑀𝑀𝑀

𝐵𝐵𝐵𝐵

Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2023 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2023.

.......................................Hết ..................................

Họ và tên: ............................................................. Số báo danh: ..............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Nội dung Biểu điểm Câu 1(5,0điểm):

1. Tính A =ඥ𝟕𝟕+ 𝟒𝟒√𝟑𝟑−ඥ𝟒𝟒−𝟐𝟐√𝟑𝟑

2. Cho biểu thức 𝑨𝑨= 2+5√𝑥𝑥

4−𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥

√𝑥𝑥+2 −√𝑥𝑥+1

2−√𝑥𝑥 Với 𝒙𝒙≥𝟎𝟎; 𝒙𝒙≠𝟒𝟒

a) Rút gọn biểu thức A. b)Tìm các số hữu tỷ x để A có giá trị nguyên.

1 5,0đ

1 2,0đ

A =ඥ7 + 4√3 −ඥ4 −2√3 = 2 +√3 - √3 +1 = 3

2,0 2a 2,0đ

𝐴𝐴= 2+5√𝑥𝑥

4−𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥

√𝑥𝑥+2 −√𝑥𝑥+1

2−√𝑥𝑥 = 3√𝑥𝑥

√𝑥𝑥+2

2,0

2b 1,0đ

Với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ, ta có:

A = 3√𝑥𝑥

√𝑥𝑥+2 => A√𝑥𝑥 +2A = 3√𝑥𝑥 => (2 – A)√𝑥𝑥 =A +1

=> √𝑥𝑥 = 2𝐴𝐴

3−𝐴𝐴

 0 ≤ 𝐴𝐴< 3

Vì A nguyên nên A = 0; 1.;2 Thay vào tìm được x = 0; 1; 16.(TM)

0,5

0,5

Câu 2 (4,0 điểm ) a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒚𝒚𝟐𝟐+ 𝒙𝒙𝒙𝒙−𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝟑𝟑= 𝟎𝟎

b) Cho 2 số tự nhiên y > 𝒙𝒙 thỏa mãn (𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏)𝟐𝟐= (𝟐𝟐𝟐𝟐−𝒙𝒙)(𝟔𝟔𝟔𝟔+ 𝒙𝒙) Chứng minh 2y – x là số chính phương. c) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn 𝒙𝒙+ 𝒚𝒚+ 𝒛𝒛= 𝟑𝟑 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: M = 𝑦𝑦2+𝑥𝑥+1

1+𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2−𝑦𝑦+1

1+𝑧𝑧2 + 𝑥𝑥2+𝑧𝑧+1

1+𝑥𝑥2

2 5,0đ

a 1,5đ

2𝑥𝑥2 −𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥−8𝑥𝑥−5𝑦𝑦+ 3 = 0 Phân tích được (x + y – 1) (2x – y – 6) = 3 Giải ra được: (x;y) ∈ {(1; −1); (1; −3)}

1,0 0,5

b 1,5đ

(2𝑦𝑦−1)2 = (2𝑦𝑦−𝑥𝑥)(6𝑦𝑦+ 𝑥𝑥) Vì 2y – 1 là số chính phương lẻ => x là số lẻ. Gọi d = (2y – x)( 6y + x) với d ∈ N; d lẻ.

 ൜2𝑦𝑦−𝑥𝑥⋮𝑑𝑑 6𝑦𝑦+ 𝑥𝑥⋮𝑑𝑑 => ൜ 2𝑦𝑦−𝑥𝑥+ 6𝑦𝑦+ 𝑥𝑥⋮𝑑𝑑 3(2𝑦𝑦−𝑥𝑥) −(6𝑦𝑦+ 𝑥𝑥) ⋮𝑑𝑑 => ቄ8𝑦𝑦⋮𝑑𝑑 −4𝑥𝑥⋮𝑑𝑑

 ቄ𝑦𝑦⋮𝑑𝑑 𝑥𝑥⋮𝑑𝑑

Mặt khác từ giả thiết => (2𝑦𝑦−1)2 ⋮𝑑𝑑2 => 2y -1 ⋮𝑑𝑑

1,0

Mà y ⋮𝑑𝑑 => 1⋮𝑑𝑑 => d = 1. Do đó 2y –x là số chính phương. 0,5

c 1,0

M = 𝑦𝑦2+𝑥𝑥+1

1+𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2−𝑦𝑦+1

1+𝑧𝑧2 + 𝑥𝑥2+𝑧𝑧+1

1+𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥

1+𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦

1+𝑧𝑧2 + 𝑧𝑧

1+𝑥𝑥2 + 1

Ta có: 𝑥𝑥

1+𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+𝑦𝑦2 = x => 𝑥𝑥

1+𝑦𝑦2 = x - 𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+𝑦𝑦2

Tương tự: 𝑦𝑦

1+𝑧𝑧2 = y - 𝑦𝑦𝑦𝑦2

1+𝑧𝑧2; 𝑧𝑧

1+𝑥𝑥2 = z - 𝑧𝑧𝑥𝑥2

1+𝑥𝑥2

M = (x + y + z) –(

𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+𝑦𝑦2 +

𝑦𝑦𝑧𝑧2

1+𝑧𝑧2 +

𝑧𝑧𝑥𝑥2

1+𝑥𝑥2) + 1

= 4 - (

𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+𝑦𝑦2 +

𝑦𝑦𝑧𝑧2

1+𝑧𝑧2 +

𝑧𝑧𝑥𝑥2

1+𝑥𝑥2)

Mà

𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+𝑦𝑦2 ≤ 𝑥𝑥𝑦𝑦2

2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥

2 . Tương tự

𝑦𝑦𝑧𝑧2

1+𝑧𝑧2 ≤ 𝑦𝑦𝑦𝑦

2 ;

𝑧𝑧𝑥𝑥2

1+𝑥𝑥2 ≤ 𝑧𝑧𝑧𝑧

2

 M ≥ 4 – ( 𝑥𝑥𝑥𝑥

2 + 𝑦𝑦𝑦𝑦

2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥

2 )

Mặt khác ta lại có (𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧)2 ≥3(𝑥𝑥𝑥𝑥+ 𝑦𝑦𝑦𝑦+ 𝑧𝑧𝑧𝑧)  (xy +yz + zx) ≤3  M ≥4 − 3

2 = 5

2. Dấu “=” xảy ra  x = y = z =1.

1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) √𝟏𝟏−𝟒𝟒𝟒𝟒+ 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐= 𝟓𝟓−𝒙𝒙

b) 𝟗𝟗

𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐

ඥ𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟗𝟗= 𝟏𝟏

3 4,0 đ

a 2,0đ

√1 −4𝑥𝑥+ 4𝑥𝑥2 = 5 −𝑥𝑥 (ĐKXĐ: R)

 |1-2x| = 5-x (1)

TH1: x ≤ 1

2 => x = - 4

TH2: 1

2 ≤𝑥𝑥≤5 => x = 2.

Vậy x = -4; 2

1,0 1,0

b 2,0đ

9

𝑥𝑥2 +

2𝑥𝑥

√2𝑥𝑥2+9 = 1 (1) (ĐKXĐ: x ≠0)

(1)  9.√2𝑥𝑥2 + 9+ 2𝑥𝑥3= 𝑥𝑥2. √2𝑥𝑥2 + 9

Đặt √2𝑥𝑥2 + 9 = a  9a + 2𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2.a  9a + x(𝑎𝑎2 – 9) = a𝑥𝑥2  (a – x)(9 + ax) = 0 => a = x hoặc ax = -9.

TH1: a = x => √2𝑥𝑥2 + 9 = …