Đề thi Olympic Toán 9 năm 2023 - 2024 trường chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI OLYMPIC CÁC TRƯỜNG THCS HƯỚNG ĐẾN KỲ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 05/11/2023

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (4,0 điểm)

1. Rút gọn 3 3 5 2 7 5 2 7     A .

2. Cho các số dương ,a b thỏa mãn 2 2 2024 2024      a b a b .

Tính giá trị của biểu thức 2 2   P a b .

Câu II. (4,0 điểm)

1. Giả sử đa thức 

5 3 2 6 9 3      P x x x x x có 5 nghiệm phân biệt 1 2 3 4 5 , , , , . x x x x x Xét đa thức



2 2   Q x x . Tính           1 2 3 4 5  F Q x Q x Q x Q x Q x .

2. Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 6 0

1 5 0

      

y x xy

x x y

.

Câu III. (4,0 điểm)

1. Cho A là số nguyên dương và phương trình nghiệm nguyên   ax by c với các hệ số nguyên

, , a b c thỏa mãn ,a b nguyên tố cùng nhau,   a b A. Chứng minh số nghiệm nguyên   ,x y

thỏa mãn điều kiện ,   x A y A của phương trình đã cho không vượt quá 3A

b .

2. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho  

2023 3 1 2   n .

Câu IV. (6,0 điểm)

1. Gọi O là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC . Đường thẳng qua O và

vuông góc với CO cắt CA tại M , cắt CB tại N . Chứng minh rằng:

a) Tam giác AOM đồng dạng với tam giác OBN .

b)

2

1 .    AM BN OC AC BC AC BC .

2. Cạnh BC của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp  O của tam giác đó tại điểm D .

Chứng minh rằng tâm O của đường tròn này nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của các đoạn

thẳng BC và AD .

Câu V. (2,0 điểm) Tìm tất cả các tập hợp  A gồm hữu hạn các số thực sao cho  x A thì

2 1   x x A và 2 1   x x A .

--------------- Hết ---------------

Họ và tên thí sinh:................................................................Số báo danh:...........................................

Chữ ký của giám thị 1:.......................................... Chữ ký của giám thị 2:..........................................

1

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đáp án có 06 trang)

KỲ THI OLYMPIC CÁC TRƯỜNG THCS HƯỚNG ĐẾN KỲ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 05/11/2023

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (4,0 điểm)

1. (2,0 điểm) Rút gọn 3 3 5 2 7 5 2 7     A .

Giải. Ta có 3 3 3 3 5 2 7 5 2 7 2 2 3.2 3 2 1 2 2 3.2 3 2 1            A (1,0 điểm)

   

3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2        . (1,0 điểm)

2. (2,0 điểm) Cho các số dương ,a b thỏa mãn 2 2 2024 2024      a b a b . Tính giá trị của biểu

thức 2 2   P a b .

Giải. Từ 2 2 2 2 2024 2024 2024 2024            a b a b a b a b (0,5 điểm)

    2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2024 2024 2024 2024

2024 2024 2024 2024

                   

a b a b a b a b

(0,5 điểm)

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2024 2024 1 1 0 2024 0 2024 2024 2024 2024

                         

a b a b a b a b a b a b a b

(0,5 điểm)

Vì

2 2 1 1 0 2024 2024       a b a b

nên ta có 2 2 2 2 2024 0 2024       a b a b .

Vậy 2024  P . (0,5 điểm)

Câu II. (4,0 điểm)

1. (2,0 điểm) Giả sử đa thức 

5 3 2 6 9 3      P x x x x x có 5 nghiệm phân biệt 1 2 3 4 5 , , , , . x x x x x Xét

đa thức 

2 2   Q x x . Tính           1 2 3 4 5  F Q x Q x Q x Q x Q x .

Giải. Vì đa thức 

5 3 2 6 9 3      P x x x x x có 5 nghiệm phân biệt 1 2 3 4 5 , , , , x x x x x nên đa thức

 P x có thể viết dưới dạng        1 2 3 4 5 .       P x x x x x x x x x x x (0,5 điểm)

Khi đó:

               2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2        F Q x Q x Q x Q x Q x x x x x x (0,5 điểm)

           1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 x x x x x x x x x x

   2 2   P P (0,5 điểm)