Đề học sinh giỏi huyện Toán 8 năm 2014 - 2015 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2014 – 2015 MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 150 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1 (5,0 điểm).

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3 2 4 4 a a a    b) 3 2 2 3 2 7 7 2 a a b ab b   

2. Cho biểu thức: 2 2 1 2 5 1 2 : 1 1 1 1

x x A x x x x

              

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. c) Tìm x để 0 A A  .

Câu 2 (3,0 điểm).

Giải các phương trình sau:

a)     2 1 1 2 4 x x x x      b)        2 15x 12 4 1 x 3x 4 x 4 x 1

Câu 3 (4,0 điểm).

1. Cho , , a b clà các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện 1 ab bc ca   . Chứng minh rằng

biểu thúc 2 2 2 ( 1)( 1)( 1) Q a b c     là bình phương của một số hữu tỷ.

2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 5 16 0 x xy y     .

3. Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 210 a b b c c a       .

Tính giá trị của biểu thức B a b b c c a       . Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC , M là một điểm thuộc cạnh BC ( ác , ác ) M kh B M kh C . Qua M kẻ các đường thẳng song song với , AC AB chúng cắt , AB AC lần lượt tại à D v E . a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để hình bình hành ADME là hình thoi. b) Chứng minh rằng . . BD EC DM ME  . c) Cho 2 2 9 , 16 BDM CME S cm S cm   . Tính ABC S ( ký hiệu S là diện tích tam giác). d) Chứng minh rằng . . . AM BC AC BM AB CM   Câu 5 (2,0 điểm).

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 1 x  . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2

2 2 1 2 1 x x P x x     

---------------Hết---------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8 Năm học 2014 - 2015 Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (5,0điểm)

1. (2,0 điểm)

a) 3 2 2 4 4 ( 1) 4( 1) ( 1)( 2)( 2) a a a a a a a a a            0,5

b) 3 2 2 3 2 7 7 2 a a b ab b    =      2 2 2 7 a b a ab b ab a b       0,5

   2 2 2 2 5 a b a b ab     0,25

   2 2 2 4 2 a b a ab b ab            2 2 2 a b a a b b b a          0,5

    2 2 a b a b a b     0,25 2. (3,0 điểm)

a) 1 2 5 1 2 : 2 2 1 1 1 1

x x A x x x x

              

ĐKXĐ: 1 1, 2 x x   0,25

1 2 5 1 2 : 2 2 1 1 1 1

x x A x x x x

               =

2

2 1 2(1 ) (5 ) 1 . 1 1 2 x x x x x x              0,5

2

2 2 1 . 1 1 2 x x x     = 2 1 2x  0,25

b) Để A nguyên thì 2 1 2x  nguyên 1 2x  là ước của 2.

Ư(2)=  2; 1;1;2   0,25

*) 1 2x  = -2  3 2 x  (loại)

*) 1 2x  = -1  1 x (loại) 0,25

*) 1 2x  = 1 x 0 (TM)

*) 1 2x  = 2  1 2 x   (loại)

0,25

Vậy 0 x  thì A nhận giá trị nguyên 0,25 c) 0 0 A A A A A       0,5

1 2 0 x    1 2 1 2 x x    0,25

Đối chiếu với ĐKXĐ ta có 1 2 x  là giá trị cần tìm. 0,25

`

a) (1,5 điểm) *) Nếu 2 x  , phương trình đã cho trở thành      2 1 1 2 4 x x x x      0,25

   2 2 1 4 4 x x    

  4 2 2 2 5 0 5 0 x x x x       0,25



 



0

5

5

x l

x tm

x l

       

0,25

*) Nếu 2 x  , phương trình đã cho trở thành 0,25