Đề học sinh giỏi huyện Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức A = 2 2 1 5 6 2 3 6 1 x x x x x x x                  

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A < 0 c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – A = 6

Câu 2 (5,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 4x b) x3 – 5x2 + 8x – 4

2. Giải các phương trình sau: a) 2 3 9 0 x x    

b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1

Câu 3 (3,0 điểm).

1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3. Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c

2. Cho x > y > 0. Chứng minh:

2 2

2 2 x y x y x y x y     

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE 2. Tính số đo góc BEC. 3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G.

Chứng minh: GB HD BC AH HC  

Câu 5 (2,0 điểm).

1. Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a2 + b2 + c2

2. Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2  0 với mọi a, b, c.

---------------Hết---------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8 Năm học 2015 - 2016 Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a. (1,25 điểm) ÑKXĐ: x  1; x  -2; x  3 0,25

A = 2 2 1 5 6 2 3 6 1 x x x x x x x                  

2 2 1 5 6 . 2 3 ( 2)( 3) 1 x x x x x x x x                  0,25

2( 3) ( 2) (5 ) ( 2)( 3) . ( 2)( 3) 1 x x x x x x x x            0,25

2 6 2 5 1 x x x x       0,25

3 1 x

   0,25

b. (1,0 điểm) A < 0

 3 1 x

 < 0 0,25

x – 1 > 0 (vì -3 < 0) 0,25 x >1 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài 0,25 c. (1,75 điểm) Ta có: A2 – A = 6A2 – A – 6 = 0 0,25

Đặt A = m (ĐK: m  0). Ta có m2 – m – 6 = 0 0,25

(m + 2) (m – 3) = 0

 2( )

3

m loai

m

     0,5

Với m = 3 ta có A = 3

 3 3 1 x     3 3 1 x   0,25

 1 x  = 1  1 1 1 1 x x      2 0 x x     0,25

Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x  -2; x  3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn. Vậy x   2;0  thì thỏa mãn đầu bài. 0,25

`

1. (2 điểm) a) x3 – 4x = x(x2 – 4) 0,5 = x(x – 2)(x+2) 0,5 b) x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 0,5 = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) 0,25 = (x – 1)(x – 2)2 0,25

Câu 2 (5 điểm)

2. (3 điểm) a) 2 3 9 0 x x    

 2 9 3 x x    0,25

ĐK: 9 – 3x  0 x  3 0,25 2 9 3 2 3 9 x x x x         0,25

 4 11 2 7 x x      0,25



11 4 7 ( ) 2

x

x loai

    

0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 11 4 0,25

b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1  (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0 0,25  (x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 0,25  (x2 – 5x)2 = 0  x2 – 5x = 0 0,25  x(x – 5) = 0 0,25

 0 5 0 x x     

 0 5 x x     0,25

Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5 0,25 Câu 3 (3 điểm)

1. (1,5 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) = 0 0,25 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (1) 0,25 Mà (a – b)2  0 với mọi a,b. (b – c)2  0 với mọi b,c. (c – a)2  0 với mọi a,c.

0,25

Nên (1) 

2

2

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0

a b

b c

c a

          

 a = b = c

0,25 Lại có a + b + c = 3  a = b = c = 1 0,25  M = a2016+ 2015b2015+ 2020c = 1 + 2015.1 +2020.1 = 4036

0,25

2. (1,5điểm) Với x > 0; y > 0. Ta có x + y  0 0,25 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:

2 ( )( ) ( ) x y x y x y x y x y       0,25

2 2

2 2 2 x y x xy y     (1) 0,25