Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Nam Trực - Nam Định

PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức B =

3 2

2 3 1 - x 1 - x - x : 1 - x 1 - x - x + x      

(với x  1 )

1) Rút gọn biểu thức B.

2) Tìm giá trị của x để B < 0.

3) Tính giá trị của biểu thức B với x thỏa mãn: x - 4 = 5 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình:

4 3 2 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 Bài 3: (2,0 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 4 5 + 9 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: Q = 2 2 2 2 8 6 2x + + 3y + x y

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.

2) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.

3) KẻDH BC    H BC  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ PD  . Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm

1) Tính tổng

' ' ' HA HB HC + + ' ' AA' BB CC

2) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM và IN theo thứ tự là phân giác của  AIC và  AIB. Chứng minh : AN.BI.CM = BN.IC.AM Bài 6: (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT

NAM TRỰC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán Bài Nội dung chính Điểm

1 (4,0đ)

1) Với x  1  thì:

         

       

       

2

2

2

2

2 2 2

1 - x 1 + x A = 1 + x + x - x :

1 + x 1 - x + x -x 1 + x

1 - x 1 + x = x + 1 :

1 + x 1 - 2 x + x

1 - x = x + 1 : = x + 1 1 - x 1 - x

0,5

1,0

0,5

2) Với x  1  thì B < 0 khi và chỉ khi    2 x +1 1-x 0  (1)

Vì   2 x +1 0  với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 0 1  x 1  x

Vậy B < 0 khi và chỉ khi x > 1

0,25

0,5

0,25

3) Với x - 4 = 5<=> x = -1; x = 9

Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x  1  Tại x = 9 thỏa mãn điều kiện x  1 . Tính được B = - 656

0,5 0,25 0,25

2 (4,0đ)

1)

4 3 2 x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 0, ta được

2

2

2

2

3 1 x + 3x + 4 + + = 0 x x 1 1 x 3 x 4 0 x x                  

Đặt 1 x x  = y thì 2

2 1 x x  = y2 – 2, ta được PT: y2 + 3y + 2 = 0 (*)

Giải (*) được y1= -1 ; y2 = -2

Với y1= -1 ta có 1 x x  = -1 nên x2 + x + 1 = 0. PT vô nghiệm

Với y1= -2 ta có 1 x x  = -2 nên  

2 x+1 0  , do đó x = -1

Vậy S=   1 

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7

2 2 2 4 2 7

2 ( 2 ) ( 2 ) 7

(2 )( 2 ) 7

x xy xy y

x x y y x y

x y x y

    

    

   

Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7 Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau:

2x-y 1 -1 7 -7 x+2y 7 -7 1 -1 x 1,8(loại) -1,8(loại) 3 -3 y 2,6(loại) -2,6(loại) -1 1

0,5

0,5

0,75