Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Thái Thụy - Thái Bình

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm).

Cho biểu thức:

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 Bài 2 (4,0 điểm).

a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

. Chứng minh A = abcd là số chính phương.

b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.

Bài 3 (3,0 điểm).

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:

2 2 x+1 x+1 2x-4 + -3 0 x-2 x-4 x-4            

Bài 4 (3,0 điểm). a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.

b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng :

2 2 2 1 1 1 9 2 2 2       x yz y xz z xy

Bài 5 (5,0 điểm). Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016       

------HẾT------ Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..……

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016

Bài Nội dung Biểu điểm

1

Cho biểu thức:

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6

a)

5 4 2

2 3 2x x 2x 1 8x 4x 2 P 4x 1 8x 1         

=

4 2

2 x (2x 1) (2x 1) 2(4x 2x 1) (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x 2x 1)           

=

4 4 4 (x 1)(2x 1) 2 x 1 2 x 1 (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1              

Vậy P =

4 x 1 2x 1  

0.25

1

1

0.25

b) ĐK: 1 x 2 

P = 6

4 x 1 6 2x 1     4 x 1 12x 6   

4 2 2 x 4x 4 4x 12x 9       2 2 2 (x 2) (2x 3)     2 x 2 2x 3     (1) hoặc 2 x 2 2x 3    (2) Ta có (1) 2 2 x 2x 1 2 (x 1) 2      

x 1 2 x 1 2

x 1 2 x 1 2

             

(tmđk)

(2) 2 2 x 2x 1 4 (x 1) 4      vô nghiệm

Vậy x 1 2

x 1 2

  

 

0.25

0.25

0.25

0,25

0.25

0.25

2

a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

.

Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.

a) 2a +b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6 +c +a     a b b c d d

 a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 +c +a a b b c d d     

a b c d + + 2 +c +a a b b c d d     

a b c d 1 1 0 +c +a        a b b c d d

0,25

0,25

b b d d 0 +c +a        a b b c d d

b(c-a) d(a -c) 0 ( )( +c) ( )( +a)      a b b c d d

( )( ) ( )( ) 0        b c d d a d a b b c

2 2 0 abc acd bd b d     

( )( ) 0 b d ac bd    

d 0 d     ac b ac b (vì b ≠ d)

Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3

2 (4 1) ( 3)    a a

2 (4 1)(4 1) ( 3)      a a a (vì  a Z nên 4 1  a Z )

2 2

2 2

2

(16 1) ( 3)

16( 3) 49 ( 3)

49 ( 3)

  

         







a a

a a

a

+) Tìm a, thử lại và kết luận a   2;2 

0,5

0,5

0,5 0,5

3

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:

2 2 x+1 x+1 2x-4 + -3 0 x-2 x-4 x-4            

a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 2016 

Dấu "=" xảy ra 2

x 0 2x 3x 0 x(2x 3) 0 3 x 2

           …