Đề chọn HSG Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT huyện Sơn Dương - Tuyên Quang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x    

b) Rút gọn biểu thức: A =  

2 2 2 2 )1 (

1 2 ... ) 4.3 (

7 )3.2 (

5 ) 2.1( 3



    

n n

n

Câu 2.(4 điểm)

a) Cho .0 1 1 1    z y x Tính 2 2 2 z xy y xz x

yz A   

b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2 – – 3 – 2 4 0. x y z xy y z    

Câu 3: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.

b) Cho 1 2 2016 , ,..., a a a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.

Chứng minh rằng: 3 3 3 1 2 2016 ... A a a a     chia hết cho 3.

Câu 4. (6 điểm)

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE  BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. (2 điểm) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 2 2 2 2) ( c b a c b a     

Tính giá trị của biểu thức: P= ab c

c ac b

b bc a

a

2 2 2 2

2

2

2

2

2

    

----------------------------------------------------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN SƠN DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi : Toán

Câu Phần Nội dung Điểm Câu 1

(4 điểm)

a 2đ

2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x     2 2 ( 2 )( 2 2) 1 x x x x     

2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 1 x x x x     

= 2 2 ( 2 1) x x  

4 ( 1) x  

0.5

0.5 0.5 0.5

b 2đ Ta có :  

2 2 2 2

2 2

2 )1 (

1 1 )1 (

)1 (

)1 (

1 2

   

   



n n n n

n n

n n

n

=> B = …=1- 2 2 )1 (

) 2 ( )1 (

1



   n

n n n

1

1

Câu 2

( 4 điểm )

a 2đ

Ta cã 0    c b a th×

      abc c c ab c c b a ab b a c b a 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3              (vì 0    c b a nên c b a    )

Theo giả thiết .0 1 1 1    z y x  . 3 1 1 1

3 3 3 xyz z y x   

2 2 2 3 3 3

3 3 3 1 1 1 3 . 3

yz xz xy xyz xyz xyz A x y z x y z

xyz xyz x y z xyz

     

          

0.5

0.5

0.5

0.5

b 2đ

x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0

<=> (x2 – xy + 4

2 y ) + (z2 – 2z + 1) + ( 4

3 y2 – 3y + 3) = 0

<=> (x - 2

y )2 + (z – 1)2 + 4

3 (y – 2)2 = 0

Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)

1 0,5

0.5

Câu 3

(4 điểm)

a 2đ

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z

 x2 + 5xy + 5y2  Z

0.5

0.5

0.5

0.5