Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Ý Yên - Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS

NĂM HỌC 2015 - 2016

MÔN : TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề gồm 01 trang

Bài 1. (3 điểm)

1) Chứng minh :

3 2 2 3 4 4 ( )( ) . x y x x y xy y x y       2) Phân tích đa thức thành nhân tử : 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x    .

3) Tìm a, b, c biết : 2 2 2 a b c ab bc ca      và

8 8 8 3 a b c    .

Bài 2. (4 điểm) Cho biểu thức :

2 2 2 2

2 2 2 2 2 P . x y x y x y x x xy xy xy y x xy y                

với y x y x     ,0 ,0 .

1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

) 3 ( 2 10 2 2 y x y x     .

Bài 3. (4 điểm)

1) Giải phương trình: 2 (6 8)(6 6)(6 7) 72 x x x     .

2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

2 2 3 x x y    .

Bài 4. (2 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn1 , , 0 a b c   . Chứng minh rằng :

a + b2 + c3 – ab – bc – ca  1.

Bài 5. (5,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I

thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho  0 IOM 90  (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.

1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. 2) Chứng minh   BKM BCO  .

3) Chứng minh 2 2 2 1 1 1 = + . CD AM AN

Bài 6. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC), trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh

AB, AC thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức AB AC + AD AE .

.

Họ và tên thí sinh: …………………

Số báo danh:…………………………

Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………….

Họ, tên chữ ký GT 2: ………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8 I. Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu

học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm:

Bài Ý Nội dung trình bày Điểm

1. (3đ)

1) (0,5đ)

Chứng minh :

3 2 2 3 4 4 ( )( ) . x y x x y xy y x y      

Ta có: ) )( ( 3 2 2 3 y xy y x x y x    

= 4 3 2 2 3 3 2 2 3 4 y xy y x y x xy y x y x x        0,25

= 4 4 y x  Vậy đẳng thức được chứng minh. 0,25

2) (1đ)

Phân tích đa thức thành nhân tử : 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x    .

Ta có: 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x     2 2 ( 2 )( 2 2) 1 x x x x      0,25

2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 1 x x x x      0,25

2 2 ( 2 1) x x    0,25

4 ( 1) x   0,25

3) (1,5đ)

Tìm a, b, c biết :

2 2 2 a b c ab bc ca      và

8 8 8 3 a b c    . Biến đổi 2 2 2 a b c ab bc ca      về 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b b c c a       0,5 Lập luận suy ra a = b = c 0,25

Thay vào a = b = c vào

8 8 8 3 a b c    ta có

8 8 3 3 1 1 a a a    .

0,5

Vậy a = b = c = 1 và a = b = c = -1. 0,25

2. (4đ)

1) (2đ)

Với y x y x     ,0 ,0 ta có:

P = 2 2

2 2 2 2

. ) (

) )( ( 2

y xy x

y x y x xy

xy y x y x y x x  

  

  





     0,5

= x

2 - ) (

) ).( ( ) ( 2

y x xy

y x y x y x xy



    . 2 2 y xy x

y x

 

 0,5

= x

2 + ) (

) )( ( 2 2

y x xy

y xy x y x



   . 2 2 y xy x

y x

 

 0,5

= x

2 + xy

y x  0,25

= xy

y x  0,25

2) (2đ)

Ta có: ) 3 ( 2 10 2 2 y x y x    

   

2 2

2 2 2 1 6 9 0

1 3 0

x x y y

x y

     

    

0,5

Lập luận suy ra 1; 3 x y   0,5 Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: y x y x     ,0 ,0 1,0