Đề thi HSG Toán 8 cấp huyện năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Sông Lô - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8

CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho biểu thức A = 3 2 2 1 2 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x                

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để A nhận giá trị là số âm. c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức ( x +2).A nhận giá trị là số nguyên.

Câu 2.

a. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (với kN*).

Chứng minh rằng: 4S + 1 là bình phương của một số tự nhiên.

b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3 x 2x 3x 2 y .    

Câu 3.

a. Giải phương trình sau:

2 3 2 1 0 x x x     

b. Xác định giá trị của m để phương trình: 3 2 ( 2) 8( ) 4 m x x m m     có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1.

c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 1 1 1 16 4 x y z  

Câu 4. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. Góc  0 60 xMy  quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx, My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của  xMy .

b. DM là phân giác của  BDE .

c. . . . BD ME CE MD a DE   .

d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi  xMy quay quanh M.

Câu 5. Trong bảng ô vuông kích thước 88 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có điểm chung (hai ô có điểm chung là 2 ô chung đỉnh hoặc chung cạnh).

-------------- HẾT -------------- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ........................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: ........

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2015 – 2016

Môn Toán – Lớp 8 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Câu 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Bài Nội dung Điểm

1a

ĐKXĐ: x≠ 1

Rút gọn được A = 1

1 x 

0,25

0,75

1b A < 0  x-1 < 0  x<1

Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x<1

0,25 0,25

1c

Ta có: ( x +2).A = 2 1 x

x



= 3 1 1 x  

Lập luận để suy ra:   0; 2;2;4 x 

0,25

0,25

2a

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1

4 k (k + 1)(k + 2). 4= 1

4 k(k + 1)(k + 2).   ( 3) ( 1) k k   

= 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k +

1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1

= (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2

Mà k *  nên k2 + 3k + 1 * . nên suy ra đpcm.

0,25

0,25

0,25

0,25

2b

Ta có

2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8                

(1)

2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16                  

(2)

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x=1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1; 0) (1; 2)

0,25

0,25

0,25

0,25

3a

2 3 2 1 0 x x x      (1)

+ Nếu 1 x : (1)  

2 1 0 1 x x      (thỏa mãn điều kiện 1 x ).

+ Nếu 1 x : (1)      2 2 4 3 0 3 1 0 1 3 0 x x x x x x x             

1; 3 x x    (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là 1 x .

0,25

0,25 0,25 0,25

3b Ta có 3 2 ( 2) 8( ) 4 m x x m m    

3 2 ( 8) 2 ( 2 4) m x m m m     