Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Yên Lạc - Vĩnh Phúc

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 -2017

MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm):

Cho biểu thức: M =  

  



   



1 1 1 1

2 2 4

2

x x x

x 4 4

2 1 1

x x x         

a) Rút gọn M b) Tìm các giá trị của x để M có giá trị là số nguyên. Câu 2 (2,0 điểm): a) Cho hai số thực x, y thoả mãn

3 2 3 10 x xy   và

3 2 3 30 y x y   . Tính giá trị biểu thức P = 2 2 x y  .

b) Giải phương trình với ẩn số là x: a b 1 bx 1 ax   

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3 b) Cho số tự nhiên N = 20172016. Viết N thành tổng của k (k N*) số tự nhiên nào đó n1; n2; ….;nk. Đặt Sn = n13 + n23 + …+nk3. Tìm số dư của phép chia Sn cho 6. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2

b) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF

c) Trên đoạn HB, HC tương ứng lấy điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN. Chứng

minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (1,0điểm):

a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 3 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức : 2 2 28 1 2 P x y x y     .

b) Các số nguyên từ 1 đến 10 được xếp xung quanh một đường tròn theo một thứ tự tùy ý. Chứng minh rằng với cách xếp đó luôn tồn tại ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng 17.

---------------Hết--------------- ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:................................................................... Số báo danh:..................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 -2017

MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Điểm

1(2,0đ)

a) ĐKXĐ : với mọi x R

M =  

  



   



1 1 1 1

2 2 4

2

x x x

x

 

  



   2

4 4

1 1

x x x

= ( )1 )( 1 (

1 )1 )( 1 (

2 2 4

2 4 2 2

  

    

x x x

x x x x x4+1-x2)

=

1 2 1

1 1

2

2

2

2 4 4

   

   

x x x

x x x

0,25

0,5

0,5

b) Biến đổi: M = 1 -

1 3

2  x , M nguyên 

1 3

2  x nguyên

Đặt

1 3

2  x = k (kZ) và k ≠ 0

Ta có kx2 + k = 3 x2 = 3 0 k k    0 < k ≤ 3, mà kZ nên k{1 ; 2 ;

3} + k = 1 thì x = 2  và M = 0 (thỏa mãn)

+ k = 2 thì 1

2 x  và M = -1(thỏa mãn)

+ k = 3 thì x = 0 và M = -2 (thỏa mãn)

Vậy x  { 2  ; 1

2  ; 0}

0,25

0,25

0,25

2

(2Đ)

a) Ta có: 3 2 3 10 x xy     

2 3 2 3 100 x xy    6 4 2 2 4 6 9 100 x x y x y   

3 2 3 30 y x y    

2 3 2 3 900 y x y    6 2 4 4 2 6 9 900 y x y x y   

Suy ra: 6 4 2 2 4 6 3 3 1000 x x y x y y    

 

3 2 2 2 2 1000 10 x y x y     

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Giải phương trình: a b 1 bx 1 ax    (1)

ĐKXĐ: x  1

b và x  1

a

(1)  a(1 – ax) = b(1 – bx)  a – a2x = b – b2x  a2x – b2x = a – b  (a2 – b2)x = a – b + Nếu a2 – b2 0 thì phương trình(1) có nghiệm duy nhất

x = 2 2 a b 1 a b a b    

0,25