Đề HSG Toán 8 cấp thành phố năm 2017 - 2018 phòng GDĐT TP Bắc Giang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP BẮC GIANG

(Đề thi gồm có:01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN THI: TOÁN 8 Ngày thi: 8/04/2018 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức M=

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x x x x x x          

a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị lớn nhất của M

2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 x y x y       .

Chứng minh M= 2 2 x y xy   là bình phương của một số hữu tỷ Bài 2: (4,0 điểm) 1. Tìm số dư trong phép chia      3 5 7 9 2033 x x x x      cho 2 12 30 x x   2. Cho x, y, z thỏa mãn 7 x y z    ; 2 2 2 23 x y z    ; 3 xyz 

Tính giá trị biểu thức H= 1 1 1 6 6 6 xy z yz x zx y        

Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 2 3 3 17 7 2 x xy x y     2. Giải phương trình Giải phương trình:     2 3 2 1 3 8 16 x x x     Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho  0 90 MON  . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE 1. Chứng minh MON  vuông cân

2. Chứng minh MN song song với BE

3. Chứng minh CK vuông góc với BE

4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh 1 KC KN CN KB KH BH   

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho x, y 0  thỏa mãn 2 5 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của H= 2 2 1 24 2 x y x y   

................................................................................................................................................

Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh:….… Giám thị 1 (Họ tên và ký)....................................................................... Giám thị 2 (Họ tên và ký).......................................................................

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN LỚP 8

Câu Nội Dung Điểm Bài 1 5 đ 1/ 3đ a/ M=

    

4 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 1 ( 1) 1 1 3 x x x x x x x x x x            

=

 

4 2

4 2 2 2 4 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 x x x x x x x x          

=        

4 2 2 4 2 4 4 4 2

2 4 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1

x x x x x x x x x x x x x x x

                  

=

   

4 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2 ( 1)

1 ( 1) 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x            

Vậy M=

2

4 2 1 x x x   với mọi x

0,5

0,5

0,5

0,5

b/ Ta có M=

2

4 2 1 x x x   với mọi x

- Nếu x=0 tha có M=0

- Nếu x 0 , chia cả tử và mẫu của M cho x2 tha có M=

2

2

1

1 1 x x  

Ta có

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x                   

Nên ta có

2

2

1 1 1

1

M

x x

   

dấu = có khi x=1. Vậy M lớn nhất M=1 khi x=1

0,5

0,5

2/ 2 đ Ta có         1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x y x y y x x y x y              

1 2 2 1 2 2 1 y x xy x y xy x y xy          3 1 2 xy x y    

Ta có M=  

2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 3 ... 2 2 xy xy x y xy x y xy xy                       

Vì x, y Q  nên 3 1 2 xy  là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ

0,75

0,75đ

0,5

Bài 2 4,0đ 1/ 2,0đ

Ta có      3 5 7 9 2033 x x x x      =...=   2 2 12 27 12 35 2033 x x x x     

Đặt 2 12 30 x x t   , ta có      3 5 7 9 2033 x x x x      =   3 5 2033 t t   

= 2 2 15 2033 t t    = ( 2) 2018 t t   Vậy ta có      3 5 7 9 2033 x x x x      =   2 2 12 30 12 32 2018 x x x x     

Vậy số dư trong phép chia      3 5 7 9 2033 x x x x      cho 2 12 30 x x   là 2018

0,5

0,5

0,5

0,5 2/ 2,0đ

Vì 7 x y z       7 6 ... 1 1 1 z x y xy z xy x y x y              . 0,5