Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 - 2022 phòng GDĐT thành phố Bắc Ninh

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức 2 2 1 1 2 : 1 1 1 1 x x P x x x x

.

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P . b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Với 2 x , tìm giá trị nhỏ nhất của P . Câu 2. (4,0 điểm)

1) Cho các số , , a b c khác 0 ; 1 1 1 1 ; 2021 2021 a b c a b c . Tính giá trị của biểu

thức: 2021 2021 2021

2021 2021 2021 1 1 1 A a b c

a b c

.

2) Giải phương trình

2 2 2 2 1 3 1 2 0 x x x x .

Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên ,a b thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a b là số nguyên chẵn và

2 2 4 3 11 a ab b chia hết cho 5 . Chứng minh 2 2 a b chia hết cho 20. 2) Cho đa thức 2 4 f x x . Giả sử đa thức 5 2 P x x ax b có 5 nghiệm là

1 2 3 4; 5 ; ; ; x x x x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 4 5 . . . . A f x f x f x f x f x .

3) Tìm các số tự nhiên , , x y z khác 0 thỏa mãn

3 3 3 1 2 0 x y z và 1 x y z

là số nguyên tố. Câu 4. (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O , lấy M trên đoạn OC , không trùng O . Gọi S là điểm đối xứng với B qua M , đường thẳng BS cắt CD tại L . Gọi E là giao điểm của DM với

; BC F là giao điểm của AE và , CD G là giao điểm của DE và BF . Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của AB và CG và DG . Chứng minh rằng:

a) SL DS BL BD .

b) IE song song với BD . c) AE vuông góc với CG . d) . . DLBS BD DS . Câu 5. (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương 1 2 19 ; ; ; a a a và 1 2 21 ; ; .; b b b thỏa mãn các điều kiện:

1 2 19 1 200, a a a 1 2 21 1 200 b b b . Chứng minh rằng tồn tại bốn số

; ; ; i j k p a a b b 1 , 19;1 , 21 i j k p sao cho , i j k p a a b b và j i p k a a b b .

---------- HẾT ----------

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

(Hướng dẫn có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán - Lớp 8

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu Đáp án Điểm 1.a. (2,0 điểm)

ĐK: 1; 2 x x .

2

2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 : 1 1 2 1 1 1

x x x x x x P x x x x x x

1,0

2

2 2 2 1 2 2 1

x x x x x x .

Vậy

2

2 x P x .

1,0

1.b. (2,0 điểm)

2 4 2 2 2 x P x x x

Vì x nguyên nên để P nguyên thì 2 x là Ư(4) { 1; 2; 4}. Hay {1;3;0;4; 2;6} x (thỏa mãn).

1,0

Ta lại có

2 2 2 8 16 8 16 ( 4) 8 8 2 2 2

x x x x x P x x x với mọi 2 x .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi và chỉ khi 4 x .

1,0

2.1. (2,0 điểm)

1 2021 a b c và 1 1 1 1 1 1 1 2021 a b c a b c a b c

2 0 0 a b a b c c ac bc c ab a b ab c a b c abc a b c

0 ( )( )( ) 0 0

0

a b a b b c a c b c a c

1,0

Nếu 0 a b thì 1 A . Tương tự với hai trường hợp còn lại có 1 A . Vậy 1 A .

1,0

2.2. (2,0 điểm)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 0 1 1 2 1 2 0 x x x x x x x x x x

2 2 2 2 2 1 1 2 1 0 1 2 1 0 x x x x x x x x x x

1,0

Với

2

2 1 3 1 0 0 2 4 x x x (vô nghiệm).

Với

2 2 1 0 2 1 0 1 x x x x .

1,0

3.1. (1,0 điểm)

Vì a b là số chẵn nên a b chẵn suy ra 2 2 4 a b (1) Vì 2 2 4 3 11 5 a ab b và 2 2 5 5 10 5 a ab b 0,5

2 2 2 2 5 5 10 4 3 11 5 a ab b a ab b hay

2 2 2 ( ) 5 5 5 (2) a b a b a b

Do 4;5 1 nên từ (1) và (2) suy ra 2 2 20 a b .

0,5

3.2. (2,0 điểm)

Vì đa thức 5 2 ( ) P x x ax b có 5 nghiệm là 1 2 3 4 5 ; ; ; ; x x x x x

Nên 1 2 3 4 5 ( ) P x x x x x x x x x x x

Ta có 2 ( ) 4 ( 2)( 2) f x x x x nên 1 2 3 4 5 A f x f x f x f x f x

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x

1,0

5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x

2 (2) ( 2) (32 4 )( 32 4 ) (4 ) 1024 1024 P P a b a b a b

1 2 3 4 5 1024 f x f x f x f x f x dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 0 a b

1,0

3.3. (1,0 điểm)

3 3 3 3 3 3 3 ( 1) 2 0 (*) ( 1) 3 3 (1) x y z x y z z

Ta có 3 3 3 3 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 (2) x y z x y z x x y y z z

Từ (1) và (2) suy ra 1 3 x y z mà 1 x y z là số nguyên tố nên

1 3 4 x y z x y z

0,5

TH1: 2, 1 x y z thỏa mãn (*). TH2: 1; 2 x y z không thỏa mãn (*). TH3: …