Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Bình Giang - Hải Dương

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề bài gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x3 + x.

2) Cho đa thức ( ) 4 3 2 ax = + − + + P x x x x b và ( ) 2 2 = + − Q x x x . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Cho biểu thức:

3

2 2 2 1 1 1 . 1 1 2 1 1 x x B x x x x x −   = − −   + + + + −  

. Tìm x để biểu thức

B xác định rồi rút gọn biểu thức. 2) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b thì 3 3 M a b ab = − chia hết cho 6

Câu 3 (2,0 điểm).Giải các phương trình sau:

1) 2 3 1 x x − + =

( )( ) 2 2 2 2) 3 3 2 3 2 x x x x x − + − + =

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H

1) Chứng minh: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2) Gọi K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh: H là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác DEF và HK.AD = AK. DH 3) Giả sử SAEF = SBFD = SCDE . Chứng minh tam giác ABC đều.

Câu 5 (1,0 điểm).

a) Chứng minh 1 1 4 x y x y + ≥ + với x, y là các số dương

b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + ≥ + + + − + − + −

....................... Hết.......................

Họ và tên thí sinh:...........................................................; Số báo danh..........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN - LỚP 8 (Đề kiểm tra gồm 03 trang) Câu 1 Hướng dẫn giải Điểm

1 (1 điểm)

x5 + x3 + x = x(x4 + x2 + 1) 0,5

= x(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) 0.5 2 (1 điểm) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 0 1 2 2 0

1 1

2 4 2

P Q x x x p x Q x P

a b a

a b b

=  = − + ⇒ ⇔ − =  + = − =   ⇔ ⇔   − + = − = −  



0.5

0.5

Câu 2 1(1 điểm) Ta có

3

2 2 2 1 1 1 . 1 1 2 1 1 x x B x x x x x −   = − −   + + + + −  

.

ĐK: 1 1 x x ≠  ≠− 

0.25

Khi đó:

3

2 2 2 1 1 1 . 1 1 2 1 1 x x B x x x x x −   = − −   + + + + −  

( )( ) 2 1 2 1 1 1 x x x x = + + + +

0.25

( ) ( )( )

2

2 1

1 1

x

x x

+ = + +

0.25

2 1 1 x x + = + 0.25

2(1 điểm) 3 3 3 3 ( ) a(b ) M a b ab b a a b = − = − − − 0,25

. .( 1)( 1) . ( 1)( 1) M b a a a a b b b = + − − − + 0.25

Vì a(a + 1)(a -1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a + 1)(a -1) chia hết cho 6 (a, b là các số nguyên) Tương tự b(b + 1)(b - 1) chia hết cho 6

0,25

. .( 1)( 1) . ( 1)( 1) M b a a a a b b b = + − − − + chia hết cho 6. Từ đó suy ra

3 3 M a b ab = − chia hết cho 6

0,25

Bài 3

1 (1đ)

1) 2 3 1 (*) x x − + = Điều kiện: 1 0

1

x

x

− ≥

⇔ ≤

0.25

Khi đó (*)

2 3 1 2 3 1 x x x x − = −  ⇔ − = − 

0,25

4 ( ) 3 2 ( )

x loai

x loai

=  ⇔= 

0,25

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 0,25 3.2 (1 điểm) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 3 2 3 2

2,5 3 0,5 2,5 3 0,5 2

2,5 3 0,5 2

2,5 3 1,5 0

x x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x

− + − + =

⇔ − + − − + + =

⇔ − + − =

⇔ − + − =

0.25

( )( ) 2 2

2

2

4 3 3 0

4 3 0 (1)

3 0 (2)

x x x x

x x

x x

⇔ − + − + =

 − + = ⇔ − + = 

0.25

Giải (1) ta được x = 1; x = 3 0.25

Giải (2) vô nghiệm Kết luận..........

0.25

Câu 4

1

AE AF AB AC =

0.5

Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) 0.5 2 EH là tia phân giác góc KED 0.25 Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED

(1) HK EK HD ED ⇒ =

0.25

Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED mà EA vuông góc với EH

 EA là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh E

0.25

K

H

A

B C D

E

F