Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán – Lớp: 8 THCS.

Thời gian làm bài: 120 Phút.

Đề thi gồm: 01 trang. Câu 1. (4,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

2

3 2 2 2 4 3 2 2 1 1 1 2 3 5 . 1 . 1 : 1 3 3 1 2 1 2 10 x x A x x x x x x x x x x   − −     = − + + −       − + − − + − −      

.

2) Cho các số thực , , x y z thoả mãn 1 1 1 1 3 x y z + + = và 3 x y z + + = . Tính giá trị của biểu thức:

2023 2023 2023 2023 2023 2023 ( ).( ).( ) P x y y z z x = + + + . Câu 2. (4,0 điểm)

1) Biết rằng đa thức ( ) f x chia cho 2 x − dư 11, chia cho 2 x + dư ( ) 1 − , chia cho 2 4 x − được

thương là 3x và còn dư. Tính (2023) ( 2023) f f + − .

2) Tìm tất cả giá trị của số tự nhiên n

để biểu thức

6 4 3 2 2 2 B n n n n = − − + có giá trị là một số chính phương. Câu 3. (3,0 điểm)

1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 3 2 4 3 x x x y + + = −.

2) Giải phương trình:

2 2 2

2 3 3 63 7 6 0 2 2 4 x x x x x x + − −     + + =     − + −    

.

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC

nhọn ( ) AB AC < . Các đường cao , , AD BM CN của tam giác ABC cắt

nhau tại H . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng , BC E là điểm đối xứng của H qua O . Kẻ CF vuông góc với đường thẳng BE tại . F

1) Tính số đo . FMN 2) Gọi , , K L R lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ N đến các đường thẳng , , . AC AD BC Gọi giao điểm của DM và CN là .S Chứng minh rằng: a) Ba điểm , , K L R

thẳng hàng. b) . . . HN CS NC SH =

3) Tia phân giác của  BAC cắt BC tại ,I kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AI tại , P đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q . Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng . IQ Chứng minh đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC . Câu 5. (2,0 điểm)

1) Xét ,x y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện . 1 x y = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức ( ) ( )( )

3 3

4 2 2 4 2 x y A x y x y

+ = + +

.

2) Một chiếc hộp đựng 99 chiếc thẻ màu vàng, 100 chiếc thẻ màu đỏ và 101 chiếc thẻ màu xanh. Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ như sau: mỗi lần rút thẻ người ta lấy ra hai chiếc thẻ khác màu và thay vào đó bằng hai chiếc thẻ có màu còn lại, quá trình này diễn ra liên tục. Hỏi đến một lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu hay không? Hãy giải thích vì sao?

....................Hết....................

Họ tên thí sinh:....................................................... Số báo danh:...............................................................

Họ, tên và chữ ký của GT1:................................... Họ, tên và chữ ký của GT2:........................................

Câu Đáp án Điểm

1.1 (2,0 đ)

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

2

3 2 2 2 4 3 2 2 1 1 1 2 3 5 . 1 . 1 : 1 3 3 1 2 1 2 10 x x A x x x x x x x x x x   − −     = − + + −       − + − − + − −      

. (2,0)

Điều kiện xác định

3 2

2

2

4 3 2

0

3 3 1 0

2 1 0

2 3 5 0

2 10 0

x

x x x

x x

x x

x x x

≠   − + −≠  − + ≠   − − ≠   − − ≠ 

0,25

Tìm đúng điều kiện và kết luận 5 0; 1; 1; 2; 2 x x x x x ≠ ≠ ≠− ≠− ≠ 0,25

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2 2 2 2 5 . 1 2 1 1 1 . . : 1 2 5 . 2 1 1

x x x x A x x x x x x x

  − + − + = + −   − + − −    

0,5

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2 1 1 : 1 2 1 1

2 1 1 : 1 2 1

x x A x x x x x x

x x x A x x x x

  − + + = + −   + − −     − + + + = − + −

0,25

0,25

( ) ( )

( ) 2 2

2 2 1 2 2 1 . 1 1 1 1 1 1

x x x x A x x x x x

− + + = −= −= + + + −

Vậy với 5 0; 1; 1; 2; 2 x x x x x ≠ ≠ ≠− ≠− ≠ thì 1 1 A x = +

0,25

0,25

1.2 (2,0đ)

Cho các số thực , , x y z thoả mãn 1 1 1 1 3 x y z + + =

và 3 x y z + + = . Tính giá trị của biểu

thức: 2023 2023 2023 2023 2023 2023 ( ).( ).( ) P x y y z z x = + + + .

(2,0)

Kết hợp 1 1 1 1 3 x y z + + = và 3 x y z + + = ta được

1 1 1 1 x y z x y z + + = + + 0,25

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 x y z x y z x y z x y z     ⇔ + + − = ⇔ + + − =     + + + +    …