Đề HSG cấp huyện Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Lương Tài - Bắc Ninh

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022- 2023

Môn: Toán- Lớp 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 07 tháng 3 năm 2023

Bài 1. (4,0 điểm) 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 2 2023 2022 2023 x x x + + + .

2) Rút gọn ( )

2 3 3

2 2 2 1 1 1 1 1 : x x x Q x x x x x x x

  −   − + = + − −    + − +     

(với 0, 1 x x ≠ ≠± ).

3) Cho , , 0 a b c ≠ và 2 2 2 . a b c ab bc ca + + = + + Tính giá trị của biểu thức:

( )

2022 2022 2022

2022 a b c T a b c

+ + = + +

.

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn:

2 2 2 3 12 x xy p y p − + = .

2) Giải phương trình: ( )

2 2 9 12 1 x x − = + .

Bài 3. (3,0 điểm)

1) Cho đa thức 2 ( ) f x ax bx c    với , , a b c là các số hữu tỉ. Biết rằng

(0), (1), (2) f f f có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2 , 2 a b có giá trị nguyên.

2) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn 2 2 2 a b + − là lũy thừa của một số nguyên tố khác 13 và 2 2 2 b a + − chia hết cho 2 2 2 a b + −. Chứng minh 2 3 a + là số chính phương. Bài 4. (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có   B 2C = ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng:

a) ABM ∆ là tam giác cân và   ABC 2AKC = ;

b) MA.KN = MN.KA;

c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.

2) Cho tứ giác ABCD có     0 0 50 ; 30 BCD BDC ACD ADB = = = = . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng tam giác ABI cân .

Bài 5. (2,0 điểm)

1) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh:

2 2 1 1 25 2 x y x y     + + + ≥        

.

ĐỀ CHÍNH THỨC

2) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu.

---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:..............................................; Số báo danh..............

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2022-2023 Môn thi: Toán - Lớp 8

Bài Lời giải sơ lược Điểm 1.1 (1,0 điểm)

Ta có: 4 2 2023 2022 2023 x x x + + + ( ) ( ) 4 2 2023 1 x x x x = − + + +

0,25

( )( ) ( ) 2 2 1 1 2023 1 x x x x x x = − + + + + + 0,25

( )( ) 2 2 1 2023 x x x x = + + − +

0,5

1.2 (1,5 điểm) 2) Rút gọn ( )

2 3 3

2 2 2 1 1 1 1 1 : x x x Q x x x x x x x

  −   − + = + − −    + − +     

(với 0, 1 x x ≠ ≠± ).

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 3 3

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 :

1 1 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 1

x x x Q x x x x x x x

x x x x x x x x x x Q x x x x x x x x x x

  −   − + = + − −    + − +     

    − + + + − + − + +   = + − −   + + + − +       

0,5

( )

2 2 2 2 2 1 1 1 1 : 1 x x x x x x x x x Q x x x − + + + − − + + − + − = + 0,25

( )

2 2 2 . 1 2 x x x Q x x x − = + 0,25

1 1 x Q x − = + 0,25

Vậy 1 1 x Q x − = + với 0, 1 x x ≠ ≠±

0,25

1.3. (1,5 điểm) Cho , , 0 a b c ≠ và 2 2 2 . a b c ab bc ca + + = + + Tính giá trị của biểu thức:

( )

2022 2022 2022

2022 a b c T a b c

+ + = + +

.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 0

0

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

a b b c c a

+ + = + + ⇒ + + = + +

⇒ + + − − − =

⇒ − + − + − =

0,5