Đề chọn ĐT HSG tỉnh Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Triệu Sơn - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

…………………

Số báo danh

.....................................

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG TỈNH

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày 17 tháng 3 năm 2023 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1: (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức:

2 2

2 2 x 3x 2 x x 1 1 P : . x x 2 x 1 x 1 x 1                      

a) Rút gọn P. b. Tìm x để 1 x 1 1. P 8

  

2. Cho ba số thực a, b, c khác không thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b                        

và

3 3 3 1 a b c   . Chứng minh rằng 1 1 1 1 a b c   .

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

3 2 3 3 28 1 1 x x x x x            .

2. Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn các điều kiện: 1 2 2x y 6 y x     và

1 x y xy 4 xy y x     .

Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên (x; y) của phương trình:  

2 2 1 3 xy x xy x x      .

2. Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn 2 2

1 1 1

b a p   .

Chứng minh rằng p là hợp số.

Câu 4: (6,0 điểm)

1. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Gọi O là trung điểm của AB. Dựng các tia Ax, By về cùng một phía của AB sao cho Ax, By lần lượt vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho 0 ˆ 90 COD  . a. Chứng minh 2 . AC BD a  và . CD AC BD   b. Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN // . AC 2. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Một đường thẳng cắt các đoạn AD, OD, OC, BC lần lượt tại M, N, P, Q sao cho MN=NP=PQ. Chứng minh rằng CD=2AB. Câu 5: (2,0 điểm)

Cho các số thực dương , , x y z thoả mãn: 3 xy yz xz xyz    . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức      

2 2 2

2 2 2 1 1 1 y z x A

x y y z z x      

.

---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

Hướng dẫn chấm

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI DỰ TUYỂN HSG TỈNH LỚP 8

Năm học 2022 - 2023

Môn thi: Toán Ngày 17 tháng 3 năm 2023 (Hướng dẫn chấm có 05 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm

1 (4,0đ)

1. 2,5đ * ĐKXĐ: 2, 1. x x   Ta có:

2 2

2 2 x 3x 2 x x 1 1 P : . x x 2 x 1 x 1 x 1                      

  

  

1 2 ( 1) 1 1 : ( 1)( 2) 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x x x x x x x x x x

                            

= 1 2 : 1 1 ( 1)( 1) x x x x x x x            

= 1 ( 1)( 1) . 1 2 x x x x   

= 1 2 x

x 

Vậy với 2, 1 x x   thì P = 1. 2 x

x 

0.25 0.25 0.5 0.25 0.25

+ Ta có: 1 1 2 1 1 1 0 8 1 8 x x x P x       

2 16 ( 1) 8( 1) 0 8( 1) 8( 1) 8( 1) x x x x x x         

    

2 2 16 1 8 1 ( 3) 0 0 1 8( 1) 1

x x x x x x

           + Nếu: 3 0 3 x x      (1) luôn đúng với 2, 1. x x  

+ Nếu:  

2 3 0 3 3 0 . x x x x        

 

2 3 0 1 0 1. 1

x x x x

       

Vậy với 1 3 x x   thì 1 1 1. 8 x P

  

0.5 0.25 0.25

2. 1,5đ

Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b                        

      2

2 2 2

        abc

b a c a c b c b a

0 2 2 2 2 2 2 2         abc b c a c a b c b c a b a          0 0 2 2 2              c bc ac ab b a b a c b a c b a ab     0      a c c b b a

0,25

0,5

0,25